贵州省毕节市七星关区第一教育集团2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - x - 6 < 0} ， B = {x | x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 $[- 1 ， 2]$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 若复数 $\frac{a + 2}{2} + \frac{2 - a}{2} i (a \in R)$ 为纯虚数，则 $| 3 - a i | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、13 C、10 D、 $\sqrt{10}$

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3. 质点 $M$ 按规律 $s (t) = {(t - 1)}^{2}$ 做直线运动（位移单位： $m$ ，时间单位： $s$ ），则质点 $M$ 在 $t = 3 s$ 时的瞬时速度为（）

A、 $12 m / s$ B、 $6 m / s$ C、 $5 m / s$ D、 $4 m / s$

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{8} = 12$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、16 B、24 C、60 D、72

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5. “方程 $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{m + 3} = 1$ 表示椭圆”是“ $- 3 < m < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{4}) s i n x + c o s x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数是（）

A、 $- 1 + \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $- 1 - \sqrt{2}$ D、 $1 - \sqrt{2}$

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7. 两平行平面 $α ， β$ 分别经过坐标原点 $O$ 和点 $A (1 ， 2 ， 3)$ ，且两平面的一个法向量 $\vec{n} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ，则两平面间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为2的奇函数，且 $0 \leq x < 1$ 时， $f (x) = 2^{x} + a ， f (1) = 0$ ，则 $f (- 3) + f (14 - l o g_{2} 7) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9. 某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8（单位：环），下列说法正确的有（）

A、这组数据的平均数是8 B、这组数据的极差是4 C、这组数据的 $40 %$ 分位数是9 D、这组数据的方差是2

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10. 已知圆 $C$ 的方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ ，若圆 $C$ 上恰好有3个点到直线 $l$ 的距离为1．则 $l$ 的方程不可能是（）

A、 $3 x + 4 y + 1 = 0$ B、 $4 x + 3 y + 1 = 0$ C、 $4 x - 3 y - 5 = 0$ D、 $3 x - 4 y - 5 = 0$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 是 $C$ 上的动点，则（）

A、 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 2 a$ B、 $C$ 的离心率不可能是 $\frac{3}{2}$ C、以 $F_{1}$ 为圆心，半径为 $b$ 的圆一定与 $C$ 的渐近线相切 D、存在点 $P$ 使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 是顶角为 $\frac{π}{4}$ 的等腰三角形

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12. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n}} = 1 ， n \in N_{+}$ ，则（）

A、 $a_{2024} = \frac{1}{2}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2022} = 1011$ C、 $a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{2024} = - 2$ D、 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{2022} a_{2023} = - 1011$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $(4 ， - 4)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角 $α =$ ．

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14. 函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x}$ 的图象在点 $(1 ， 3)$ 处的切线也是抛物线 $x^{2} = \frac{1}{3} y$ 的切线，则 $a - b =$ ．

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15. 将函数 $f (x) = c o s (3 x - \frac{π}{4})$ 图象上所有点的橫坐标缩短为原来的 $\frac{3}{4}$ ．纵坐标不变，再将所得图象向右平移 $a (a > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (- x) - g (x) = 0$ ，则 $a$ 的最小值为．

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16. 如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为 $\sqrt{5} - 1$ 和3，则此组合体的外接球的体积是．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17. 在前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{4} = 2 a_{2} - 2 ， S_{3} = 48$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的首项和公差；

(2)、当 $a_{n} \geq 5$ 时，求 $n$ 的最大值．

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18. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ．已知 $a c s i n B = 4 s i n A$ ，且 $c o s A = \frac{7}{8}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $a = \sqrt{10}$ ．求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙答题错误的概率是 $\frac{1}{3}$ ，乙、丙两人都答题正确的概率是 $\frac{1}{4}$ ，假设每人答题正确与否是相互独立的．

(1)、求丙答题正确的概率；

(2)、求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．

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20. 如图所示的多面体由三棱锥 $A - B D E$ 与四棱锥 $D - B C F E$ 对接而成，其中 $E F ⊥$ 平面 $A E B$ ， $A E ⊥ E B$ ， $A D ∥ E F ∥ B C$ ， $B C = 2 A D = 4$ ， $E F = 3$ ， $A E = B E = 2$ ， $G$ 是 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $B D ⊥ E G$ ，

(2)、求平面 $D E G$ 与平面 $A E F D$ 夹角的余弦值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 3} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = (3^{n} - 1) \cdot \frac{n}{2^{n}} \cdot a_{n}$ ，设 $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求使 $k > T_{n}$ 恒成立的最小的整数 $k$ ．

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22. 已知圆 $M$ 与直线 $x = - 3$ 相切，与圆 $N ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 5$ 交于 $E ， F$ 两点，且 $E F$ 为圆 $N$ 的直径，圆心 $M$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设点 $A (1 ， 0) ， D (3 ， 0) ， P ， Q$ 是 $C$ 上不同的两点，且直线 $A P ， A Q$ 的斜率均为 $k (k \geq 2) ， H$ 为 $x$ 轴上一动点，且 $∠ P Q H = ∠ Q P H$ ，求 $\frac{| D H |}{| P Q |}$ 的最小值．

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