广东省广州市越秀区2023-2024学年高一上学期期末学业水平调研测试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {1}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ，则 $A ∪ B$ 的子集个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $2^{a} > 2^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = x + l n x - 5$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (c o s 100 ° ， s i n 200 °)$ ，则（）

A、 $s i n α > 0$ B、 $c o s α > 0$ C、 $0 < t a n α < 1$ D、 $t a n α > 1$

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6. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $3 c o s 2 α - 10 c o s α = 1$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 在当今 $5 G$ 时代， $6 G$ 的研究方兴未艾．有消息称，未来 $6 G$ 的通信速率有望达到 $1 T b p s$ ．香农公式 $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ 是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率 $C$ 取决于信道带宽 $W$ 、信道内信号的平均功率 $S$ 和信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比．若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从3提升到99，则最大信息传递率 $C$ 大约会提升到原来的（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、2.3倍 B、3.3倍 C、4.6倍 D、6.6倍

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8. 若 $2^{a} + l o g_{3} a = 4^{b} + 2 l o g_{9} b$ ，则（）

A、 $0 < a < b^{2}$ B、 $0 < b^{2} < a$ C、 $0 < a < 2 b$ D、 $0 < 2 b < a$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 若集合 $M = {x | x \geq 0}$ ， $N = {x | (x - 1) (x - 2) < 0}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $M ∪ N = M$ C、 $(∁_{R} M) ∩ N = \emptyset$ D、 $M ∪ (∁_{R} N) = R$

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10. 已知定义域为Ⅰ的函数 $f (x)$ ， $\exists x_{0} \in I$ ，使 $f (x_{0}) < 0$ ，则下列函数中符合条件的是（）

A、 $f (x) = x^{3} + 1$ B、 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ C、 $f (x) = l g x^{2}$ D、 $f (x) = 2 c o s x + 3$

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11. 如图，一个半径为 $3 m$ 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $d$ （单位： $m$ ）（在水面下则 $d$ 为负数），若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间，则 $d$ 与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系为 $d = A s i n (ω t + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $A = 3$ B、 $ω = \frac{π}{20}$ C、 $s i n φ = - \frac{11}{15}$ D、 $b = - 0.8$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n x - | c o s x |$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f (- x) = - f (x)$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题“ $\forall x \in R$ ， $3^{x} > 0$ ”的否定是．

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14. 已知 $2^{a} = 3$ ， $l o g_{4} 5 = b$ ，则 $8^{a - 2 b} =$ ．

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15. 函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，例如， $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，则函数 $y = [x + 2] - x$ 的值域是．

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16. 如图，要在一块半径为6，圆心角为 $45 °$ 的扇形铁皮 $P O Q$ 中截取两块矩形铁皮 $A B C D$ 和 $E F G C$ ，使点 $A$ 在弧 $P Q$ 上，点 $B$ 在半径 $O Q$ 上，边 $C D$ 与边 $G C$ 在半径 $O P$ 上，且点 $F$ 为线段 $O B$ 的中点．设 $∠ A O P = α$ ，两块矩形铁皮的面积之和为 $S$ ，则 $S$ 的最大值为，此时 $t a n α =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数 $f (x) = 5 - x - \frac{6}{x} (x > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、求不等式 $x f (x) < 0$ 的解集．

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18. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (\frac{α}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{8}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，求 $f (α - \frac{π}{6})$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{(a^{2} - 1) x}{1 + x^{2}} (a > 0 ， a \neq 1)$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性，并加以证明．

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20. 已知函数 $f (x) = s i n^{4} x + 2 s i n x c o s x - c o s^{4} x$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、把函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上的最小值．

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21. 某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数 $y = f (x)$ 来拟合该文化馆对外开放后第 $x (x \geq 1)$ 年与当年参观人数 $y$ （单位：万人）之间的关系．

(1)、若选函数 $f (x) = \frac{m}{x} + n (m \neq 0)$ ，试确定 $m ， n$ 的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；

(2)、若选函数 $f (x) = a \cdot b^{x} + c (b > 0 ， b \neq 1)$ ，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定 $b$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall a$ ， $b \in R$ ， $f (a + b) + f (a - b) = 3 f (a) f (b)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{3}$ ， $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上单调递减．

(1)、求证： $f (x) + f (0) \geq 0$ ；

(2)、求 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (2023)$ 的值；

(3)、当 $x \in R$ 时，求不等式 $3 f (2 x) + 4 \leq 9 f (x)$ 的解集．

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