广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 双曲线经过点 $(- 1 ， 0)$ ，焦点分别为 $F_{1} (- 2 ， 0)$ 、 $F_{2} (2 ， 0)$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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2. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、0 D、2

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3. 若点 $P (a ， b)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 内，则直线 $a x + b y = 1$ 与此圆的位置关系是（）

A、相切 B、相离 C、相交 D、无法确定

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4. 在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中正午时刻日影最长的一天被定为冬至，从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）

A、25.5尺 B、34.5尺 C、37.5尺 D、96尺

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5. 过抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点作直线l ，交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点横坐标为2，则 $| A B | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长都是1，M是BC的中点， $\vec{C N} = λ \vec{C C_{1}}$ （ $0 < λ < 1$ ），且 $M N ⊥ A B_{1}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 已知数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = \frac{2}{3}$ ，且 $\frac{x_{n}^{2}}{x_{n - 1} x_{n + 1}} = 1$ （ $n \in N^{*}$ ，且 $n ≥ 2$ ），则 $x_{n} =$ （）

A、 ${(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ B、 ${(\frac{3}{2})}^{n - 1}$ C、 $\frac{2}{n + 1}$ D、 $\frac{n + 1}{2}$

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8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值。在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线AC与 $A_{1} D$ 之间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 如果 $A B < 0$ ， $B C > 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 经过的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 已知角 $α \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ，则方程 $x^{2} + y^{2} s i n α = 1$ 可能表示下列哪些曲线（）

A、椭圆 B、双曲线 C、圆 D、两条直线

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11. 一条光线从点 $A (- 2 ， 3)$ 射出，经x轴反射后，与圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，在下列方程中，不是反射光线所在直线方程的是（）

A、 $4 x + 3 y - 1 = 0$ B、 $4 x - 3 y - 1 = 0$ C、 $3 x - 4 y - 6 = 0$ D、 $3 x + 4 y - 6 = 0$

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - 3 a_{n} - 1 = 0$ ， $n \in N^{*}$ ，下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n} + \frac{1}{2}}$ 为等比数列 B、 $a_{n} = \frac{1}{2} \times 3^{n} - \frac{1}{2}$ C、数列 ${a_{n}}$ 是递减数列 D、 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{1}{4} \times 3^{n + 1} - \frac{5}{4}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 12 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 14 x - 2 y + 14 = 0$ ，则两圆心之间的距离为。

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ ， M是双曲线上的一点，且 $| M F_{1} | = 5$ ，则 $| M F_{2} | =$ 。

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + \frac{a_{2}}{2^{1}} + \frac{a_{3}}{2^{2}} + \frac{a_{4}}{2^{3}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{2^{n - 1}} = 2 n$ ，则 $a_{n} =$ 。

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点A在C上，点B在y轴上， $\vec{F_{1} B} ⊥ \vec{F_{1} A}$ ， $\vec{F_{2} B} = - 4 \vec{F_{2} A}$ ，则C的离心率为。

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 15$ ， $S_{6} = 9 S_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{2} a_{2 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 相交于A、B两点，

(1)、求AB的长；

(2)、求圆心在直线 $2 x - y - 3 = 0$ 上，且经过A ， B两点的圆的方程。

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19. 已知点 $P (2 ， 3)$ 和圆Q： ${(x + 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ ，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B ，

(1)、求切线PA ， PB的长；

(2)、求直线AB的方程。

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20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PCL底面ABCD ，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC ， AB∥DC ， $P C = A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，点E在棱PB上．

(1)、证明：平面EAC⊥平面PBC；

(2)、当 $\vec{B E} = 2 \vec{E P}$ 时，求二面角P-AC-E的余弦值．

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21. 已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米．

(1)、建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；

(2)、当水面上涨0.5米时，木船能否通行？

(3)、当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？

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22. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的上顶点为A ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．抛物线 $C_{2}$ ： $y = - x^{2} + 1$ 截x轴所得的线段长为 $C_{1}$ 的长半轴长．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过原点的直线l与C相交于B ， C两点，直线AB ， AC分别与 $C_{1}$ 相交于P ， Q两点
①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值；
②记△ABC和△APQ的面积分别是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值．

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