湖南省岳阳市2023-2024学年高三上学期质量监测（一）数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | y = l n (x - 1)}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | 1 < x \leq 3}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | x \geq 1}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 均为等差数列，且 $a_{2} + b_{5} = 2$ ， $a_{6} + b_{9} = 12$ ，则 $a_{4} + b_{7} =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，且对任意实数 $x$ ，均有 $f (x) + f (x + 1) = 1$ ，则 $f (\frac{3}{2})$ 为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2}$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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5. 自2020年确定针对中国的“融入”政策（和平演变）失败，美国政府开始带领部分西方国家推动“去中国化”的“硬脱钩”政策，技术封锁特别是芯片出口限制就是其中重要一项.为突破围堵，以华为为代表的一批中国高新技术企业不仅着力发展硬件，而且加强了软件技术特别是算法的研发.如我国超级计算机天河一号 $A$ 每秒执行 $2.5 \times 1 0^{15}$ 条指令，普通计算机每秒执行 $1 0^{8}$ 条指令.若天河一号 $A$ 用“插入排序”法排 $n$ 个数需要 $2 n^{2}$ 条指令，普通计算机用“并归排序”法排 $n$ 个数需要 $50 n l g n$ 条指令.现排 $1 0^{10}$ 个数，则超级计算机与普通计算机所花时间的比值为（）

A、 $8 ： 5$ B、 $8 ： 50000$ C、 $80000 ： 5$ D、 $8 ： 5 \times 1 0^{8}$

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6. 据统计，我国结核病的感染率约为0.001.在针对结核病的检查中，健康者检测结果显示为阳性的概率为0.05，结核病感染者检测结果显示为阴性的概率为0.01，那么 $A$ 同学检测结果为阳性的概率为（）

A、0.05094 B、0.05001 C、0.001 D、0.05084

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $A$ 为椭圆上顶点，直线 $A F_{2}$ 与椭圆 $C$ 交于另外一点 $B$ ，若 $∠ A F_{1} F_{2} = 2 ∠ B F_{1} F_{2}$ ，则椭圆离心率 $e$ 位于下列哪个区间（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ D、 $(\frac{3}{4} ， 1)$

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8. 已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的 $\frac{1}{4}$ ，侧棱长为 $\sqrt{3}$ .当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）

A、 $\frac{33 π}{2}$ B、 $33 π$ C、 $\frac{57 π}{2}$ D、 $57 π$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω \in N_{+} ， ω \leq 6)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则（）

A、 $f (0) = \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上有2个极值点 D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递增

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，下列说法正确的是（）

A、异面直线 $A_{1} D$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角为 $45 °$ B、若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ C、 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若点 $Q$ 为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 对角线 $B D_{1}$ 上的动点，则 $∠ A Q C$ 的最大值为 $\frac{2 π}{3}$

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11. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为2，左焦点到右顶点的距离为3. $O$ 为坐标原点.直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $P$ ， $Q$ 两点（不同于右顶点），且与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ ， $P$ 位于第一象限），则（）

A、双曲线方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、点 $P$ 到两条渐近线的距离之和的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $\vec{P B} = \vec{A Q}$ D、若 $\vec{P Q} = 2 \vec{Q B}$ ，则 $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12. 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成7等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成7等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成7等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的5只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”.下列说法正确的是（）

A、若第 $n$ 只猴子分得 $b_{n}$ 个桃子（不含吃的），则 $7 b_{n} = 6 b_{n - 1} - 1 (n = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7)$ B、若第 $n$ 只猴子连吃带分共得到 $a_{n}$ 个桃子，则 ${a_{n}} (n = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7)$ 为等比数列 C、若最初有 $(7^{7} - 6)$ 个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得 $(6^{7} - 7)$ 个桃子 D、若最初有 $m$ 个桃子，则 $m$ 被7除的余数为1

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三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， - 1)$ ，若向量 $\vec{m} ∥ \vec{O A}$ ，且 $\vec{m}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为钝角，写出一个满足条件的 $\vec{m}$ 的坐标为.

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14. 已知曲线 $y = x + l n x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与曲线 $y = x^{2} + (2 a + 3) x + 1 + a$ 有两个不同的公共点，则 $a$ 的取值范围为.

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15. 过圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 5$ 外一点 $P$ 作圆 $O$ 的切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，若 $| A B | = 2$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为.

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16. 正方形 $A B C D$ 的边长为1， $P$ 、 $Q$ 分别为边 $A B$ 、 $A D$ 上的点（不包括端点），且 $Q C$ 、 $P C$ 分别为 $∠ D Q P$ 、 $∠ B P Q$ 的角平分线.则

(1)、 $△ A P Q$ 的周长为；

(2)、 $△ P C Q$ 面积的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ . $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = \frac{n}{S_{n}} - \frac{n - 1}{S_{n - 1}} + 1 (n ⩾ 2)$ .

(1)、求证：数列 ${S_{n} - \frac{n}{S_{n}} - n}$ 为常数列；

(2)、求数列 ${S_{n}}$ 的通项公式，并证明 $\frac{1}{S_{1} S_{2}} + \frac{1}{S_{2} S_{3}} + \frac{1}{S_{3} S_{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{S_{n - 1} S_{n}} < 1$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a t a n B - 2 c t a n A + a t a n A = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $∠ B$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$ 且 $B D = 1$ ，求 $\frac{c}{a}$ 的值.

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = B C = 2$ . $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，且 $E F ⊥ B_{1} C_{1}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ A C$ ；

(2)、若二面角 $F - E C - B$ 的正切值为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $E F$ 与平面 $A_{1} E C$ 所成角的余弦值.

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20. 为了进一步深入开展“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，让阅读成为学校、家庭、社会的一种良好风气，某校规定每位师生需在学校图书馆借阅一本文学类或理工类书籍.现对该校60名师生的借阅情况进行调查，其中教师与学生的人数之比为 $1 ： 2$ ，教师中借阅文学类书籍的占 $\frac{1}{2}$ ，学生中借阅文学类书籍的占 $\frac{3}{4}$ ，得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

(1)、请将 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并根据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，判断老师与学生的借阅情况是否存在差异；

教师
学生
合计
文学类
理工类
合计

(2)、若从学校随机抽取 $m$ 人，用样本的频率估计总体的概率，若抽取的人中有5人借阅理工类书籍的概率最大，求 $m$ 所有可能的取值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
其中 $n = a + b + c + d$ .参考数据：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线与 $x$ 轴相交于点 $N$ ，过点 $N$ 作抛物线的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，其中点 $A$ 在第一象限.

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、过点 $N$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $C$ 、 $D$ 两点，交直线 $A B$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $A D$ 的平行直线 $E H$ 分别交线段 $A C$ 、 $A N$ 于点 $M$ 、 $H$ .证明：存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{A H} + \vec{A E} = λ \vec{A M}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x} - 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = f (x) - c o s x$ ， $x \in (0 ， 2 π)$ ，判断 $g (x)$ 的零点个数，并说明理由.

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	教师	学生	合计
文学类
理工类
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828