广东省中山市2024届高三上学期1月第一次调研数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x | | 4 x - 1 | < 9 ， x \in R}$ ， $B = {x \cdot \frac{x}{x + 3} \geq 0 ， x \in R}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， - 3) ∪ [\frac{5}{2} ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， - 2] ∪ [0 ， \frac{5}{2})$ C、 $(- \infty ， - 3] ∪ [\frac{5}{2} ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， - 2]$

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2. 已知复数z满足 $z (1 + 2 i) = | 1 + 2 i |$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5} i$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5} i$

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3. 若 $t a n (α - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{7}$ ，则 $c o s^{2} α + 2 s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{64}{25}$ B、 $\frac{48}{25}$ C、1 D、 $\frac{16}{25}$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{3}{2}$ ， $⟨ \vec{a} - \vec{c} ， \vec{b} - \vec{c} ⟩ = 30 °$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值等（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $3 + 2 \sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 + 2 \sqrt{3}$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n}{3 n + 1}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{8}}{b_{3} + b_{5}} =$ （）

A、 $\frac{9}{11}$ B、 $\frac{7}{11}$ C、 $\frac{10}{13}$ D、 $\frac{9}{14}$

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6. 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为 $y = y_{0} \cdot e^{k t}$ .其中 $y_{0}$ 为初始量，k为降解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的 $75 %$ .若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的 $10 %$ ，则n的值约为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477$ ）

A、20 B、16 C、12 D、7

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7. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ，点P ， Q ， T分别在棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 和 $A B$ 上，且 $B_{1} P = 3$ ， $C_{1} Q = 1$ ， $B T = 3$ ，记平面 $P Q T$ 与侧面 $A D D_{1} A_{1}$ ，底面 $A B C D$ 的交线分别为m ， n ，则（）

A、m的长度为 $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ B、m的长度为 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ C、n的长度为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、n的长度为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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8. 已知 $M (a ， 3)$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为4，过点 $P (4 ， 2)$ 向抛物线C作两条切线，切点分别为A ， B ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B F} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、16 D、 $- 12$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，得部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知事件A ， B是相互独立事件，且 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{6}$ ， $P (A B) = \frac{1}{12}$ ，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{3}$ B、 $P (B) = \frac{3}{4}$ C、 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{4}$ D、 $P (\bar{A B}) = \frac{1}{2}$

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10. 函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s (2 ω x - \frac{π}{3}) - 2 s i n 2 ω x (0 < ω < 1)$ 的图象如图所示，将其向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $g (x)$ 的图象上存在点P ，使得在P点处的切线与直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 垂直 C、函数 $y = g (x) \cdot s i n x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、函数 $g (2 x + \frac{π}{3})$ 在 $[- \frac{π}{9} ， \frac{π}{9}]$ 上单调递增

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作斜率为 $- \frac{\sqrt{15}}{15}$ 的直线l与C的上支交于M ， N两点（点M在第一象限），A为线段 $M N$ 的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（）

A、 $| M F_{2} | = 2 | M F_{1} |$ B、 $| N F_{2} | = | M N |$ C、 $∠ M O N$ 可以是直角 D、直线 $O A$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{15}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，若 $f (x)$ 是奇函数， $f (2) = - f (1) \neq 0$ ，且对任意 $x ， y \in R$ ， $f (x + y) = f (x) f^{'} (y) + f^{'} (x) f (y)$ ，则（）

A、 $f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ B、 $f (9) = 0$ C、 $\sum_{k = 1}^{20} f (k) = 1$ D、 $\sum_{k = 1}^{20} f^{'} (k) = - 1$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ${(x^{2} - \frac{1}{x} + 2)}^{3}$ 中常数项是.（写出数字）

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{n} = \frac{n - \sqrt{82}}{n - \sqrt{83}} (n \in N^{*})$ ，则在数列 ${a_{n}}$ 的前50项中最大项是第项.

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15. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0$ ， $b_{2} > 0)$ 的公共焦点，曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 在第一象限内交于点M ， $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，若椭圆的离心率 $e_{1} \in [\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则双曲线的离心率 $e_{2}$ 的取值范围是.

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ A B D + ∠ C B D = \frac{π}{2}$ ， $B D = B C = 2$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球表面积的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{2^{n}} = n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前n项和.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且满足 $\frac{\sqrt{3} c}{c o s C} = \frac{a}{c o s (\frac{3 π}{2} + A)}$ .
（I）求C的值；
（II）若 $\frac{c}{a} = 2$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 的边长为1，P为棱 $A A_{1}$ 上一点.

(1)、若 $A A_{1} = 1$ ， P为 $A A_{1}$ 的中点，求异面直线 $P C_{1}$ 与 $A B_{1}$ 所成角的大小；

(2)、若 $A A_{1} = a (0 < a < \sqrt{3})$ ，设二面角 $A_{1} - B_{1} C_{1} - P$ 、 $A - B C - P$ 的平面角分别为 $α$ 、 $β$ ，求 $t a n (α + β)$ 的最值及取到最值时点P的位置.

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20. 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力.耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式.某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练.由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第 $n (n \in N^{*} ， n \leq 89)$ 天进行有氧训练，则第 $n + 1$ 天进行有氧训练的概率为 $\frac{5}{9}$ ，第 $n + 1$ 天进行无氧训练的概率为 $\frac{4}{9}$ ；若运动员第n天进行无氧训练，则第 $n + 1$ 天进行有氧训练的概率为 $\frac{7}{9}$ ，第 $n + 1$ 天进行无氧训练的概率为 $\frac{2}{9}$ .若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等.

(1)、封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X ，求X的分布列与数学期望；

(2)、封闭集训期间，记某运动员第n天进行有氧训练的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{45}$ .

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21. 已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆上.其左右顶点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l过x轴上的定点E（E点不与 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 重合），且交椭圆C于P、Q两点（ $y_{P} > 0$ ， $y_{Q} < 0$ ），当满足 $\frac{k_{A_{1} P}}{k_{A_{2} Q}} = \frac{5}{7}$ 时，求E点的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = - a l n x + e^{x} - a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数的情况.

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