湖南重点大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1. 设复数z满足 $| z - i | = 1$ ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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2. 直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，则 $m$ 等于（）

A、2 B、-3 C、2或-3 D、-2或-3

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3. 已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $P (- \frac{1}{2} ， y)$ ，则 $s i n α \cdot t a n α$ 等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\pm \frac{3}{2}$

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4. 随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化､网络化､智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注. $5 G$ 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通 $5 G$ 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进 $5 G$ 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇 $5 G$ 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个 $5 G$ 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个 $5 G$ 基站时要到（）

A、2022年12月 B、2023年2月 C、2023年4月 D、2023年6月

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5. 已知 $(2 x - 1)^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $| a_{0} | + | a_{1} | + ⋯ + | a_{5} |$ 等于（）

A、1 B、243 C、121 D、122

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6. 设椭圆 $E$ 的两焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以 $F_{1}$ 为圆心， $| F_{1} F_{2} |$ 为半径的圆与椭圆 $E$ 交于 $P ， Q$ 两点.若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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7. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $F$ 为线段 $B D$ 上的一动点，若 $\vec{A F} = x \vec{A E} + y \vec{D C} (x > 0 ， y > 0)$ ，则 $\frac{2 - 3 x}{4 y^{2} + 1}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、2

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8. 已知当 $x ⩾ e$ 时，不等式 $x^{a} + \frac{1}{x} - e^{\frac{1}{x}} ⩾ a l n x$ 恒成立，则正实数 $a$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{e}$ C、 $e$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、某校的4个班级分别从3个景点中选择一处游览，不同的选法的种数是 $3^{4}$ B、从 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 中选择2个数（可重复）组成两位偶数，一共有10个 C、两个口袋分别装有2个和3个不同的小球，从两个口袋中分别各取1个球，共有5种取法 D、从 $1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 10$ 中选择2个不同的数作为分子分母组成分数，共可以组成10个分数

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10. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件 $a_{1} > 1 ， a_{7} \cdot a_{8} > 1 ， \frac{a_{7} - 1}{a_{8} - 1} < 0$ .则下列结论正确的是（）

A、 $0 < q < 1$ B、 $a_{7} \cdot a_{9} > 1$ C、 $T_{n}$ 的最大值为 $T_{7}$ D、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{9}$

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11. 已知函数 $f (x) = x + \sin x - x \cos x$ 的定义域为 $[- 2 π ， 2 π)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， π)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 恰有4个极大值点 D、 $f (x)$ 有且仅有4个极值点

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12. 下列有关正方体的说法，正确的有（）

A、正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为 $1 ： \sqrt{2} ： \sqrt{3}$ B、若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1 ， Q$ 为正方体侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的一个动点， $E ， F$ 为线段 $A C_{1}$ 的两个三等分点，则 $| Q E | + | Q F |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{11}}{3}$ C、若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为 $2 \sqrt{5}$ D、若正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为3，点 $P$ 在棱 $C C^{'}$ 上，且 $P C = 2 P C^{'}$ ，则三棱锥 $B^{'} - D^{'} A P$ 的外接球表面积为 $\frac{99}{4} π$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数 $f (x) = x l n x + a x^{2} + 2$ ，若 $f^{'} (e) = 0$ ，则 $a =$ .

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14. 若直线 $x + a y - a - 1 = 0$ 与圆 $C ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点，当 $| A B |$ 最小时，劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为.

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15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $(a - 2 c c o s B) s i n A = \sqrt{2} a c o s A ， a = \sqrt{2}$ ，且 $c o s B = - s i n C$ ，则 $b c =$ .

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16. 如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 有公共焦点 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0) (c > 0)$ ，椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，点 $P$ 为两曲线的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{∘} ， I$ 为 $△ F_{1} P F_{2}$ 的内心， $F_{1} ， I ， G$ 三点共线，且 $\vec{G P} \cdot \vec{I P} = 0 ， x$ 轴上点 $A ， B$ 满足 $\vec{A I} = λ \vec{I P} ， \vec{B G} = μ \vec{G P}$ ，则 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为； $λ^{2} + μ^{2}$ 的最小值为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = (2 \sqrt{3} s i n x - c o s x) c o s x + s i n^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间和最小正周期；

(2)、若当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 时，不等式 $f (x) ⩾ m$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 用总长为 $\frac{52}{3} m$ 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多 $1 m$ ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？

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19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D ， A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子 $M ， N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M$ 和 $B N$ 的长度保持相等，记 $C M = B N = t (0 < t < \sqrt{2})$ .

(1)、求 $M N$ 长的最小值；

(2)、当 $M N$ 的长最小时，求二面角 $A - M N - B$ 的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 3 ， n 为奇数， \\ 4 a_{n} ， n 为偶数 . \end{array}$

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n}$ ，证明： ${b_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及其前 $2 n - 1$ 项和 $S_{2 n - 1}$ .

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21. 阅读材料并解决如下问题：Bézier曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau对Bézier曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的动点到焦点距离的最小值为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程及其焦点坐标和准线方程；

(2)、如图， $A ， B ， C$ 是 $Γ$ 上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点 $D ， E ， F$ ，若 $A C$ $∥$ $D F$ ，求 $\frac{| B D |}{| B F |}$ 的值.

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22. 设 $f (x) = e^{x} (e^{x} - 2 a x - 1)$ 且 $f (x) ⩾ 0$ 恒成立.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$ ，且 $e^{- 2} < f (x_{0}) < 2^{- 2}$ .

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