湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案要填涂在答题卷上）

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ，集合 A = {2 ， 4}$ ，集合B ${3 ， 5}$ ，则 $C_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 $3 \in A$ B、 ${1 ， 6}$ C、 ${6}$ D、 $\emptyset$

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2. 命题“ $\forall x \in R ， s i n x + c o s x \leq \sqrt{2}$ ”的否定为（　　）

A、 $\forall x \in R ， s i n x + c o s x \geq \sqrt{2}$ B、 $\exists x \in R ， s i n x + c o s x > \sqrt{2}$ C、 $\exists x \in R ， s i n x + c o s x \geq \sqrt{2}$ D、 $\forall x \in R ， s i n x + c o s x \neq \sqrt{2}$

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3. 若锐角 $α ， β$ 满足 $c o s α = \frac{4}{5} ， c o s (α + β) = \frac{3}{5} ，$ 则 $s i n β$ 的值是（）

A、 $\frac{17}{25}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 已知 $a > 0$ ，则 $a + \frac{4}{a} + 1$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 函数 $f (x) = l o g_{2} (6 - 2 x) + \sqrt{x + 4}$ 的定义域为（　　）

A、（3，＋∞）　　　 B、 $(- 4 ， 3)$ C、 $(- 4 ， + \infty)$ D、 $[- 4 ， 3)$

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6. “ $s i n α = s i n β$ ”是“ $α = β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x ， g (x) = l o g_{2} x + x ， h (x) = x^{3} + x$ 的零点分别为 $a ， b ， c$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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8. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形 $A O B$ ，其中 $∠ A O B = 12 0^{∘}$ ， $O A =$ $3 O C = 3$ ，则扇面（曲边四边形 $A B D C$ ）的面积是（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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二、多项选题：（满分20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x < 2 \\ l o g_{2} (x - 1) ， x \geq 2 \end{array}$ ，若 $f (x) = 1$ ，则 $x$ 的取值可能是（）

A、0 B、3 C、 $- 1$ D、2

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10. 下列等式正确的是（）

A、 $s i n 15 ° c o s 15 ° = \frac{1}{4}$ B、 $2 s i n^{2} 22.5 ° - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $s i n 26 ° c o s 34 ° + c o s 26 ° s i n 34 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{t a n 71 ° - t a n 26 °}{1 + t a n 71 ° t a n 26 °} = 1$

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11. 下列函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = | s i n x |$ B、 $y = c o s 2 x$ C、 $y = t a n x$ D、 $y = s i n 2 x$

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12. 下列说法正确的是（）

A、若 $x < 0 ，$ 则 $| x | - \sqrt{x^{2}} + \frac{\sqrt[3]{x^{3}}}{| x |} = 1$ B、函数 $y = l o g_{2} \frac{1 - x}{1 + x}$ 是奇函数 C、函数 $y = 2^{1 - x}$ 是R上的增函数 D、将函数 $y = s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．15题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡中相应的横线上）

13. 已知 $α$ 为锐角，且 $s i n α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (π - α)$ 的值为.

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14. 若函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 且 a \neq 1)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值与最大值的和为3，则函数 $y = 2 a x - 1$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最大值是.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， x \geq a \\ 2^{x} - 2 ， x < a \end{array}$ ， ①当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的最小值为；②若 $f (x)$ 有2个零点，则实数a的取值范围是.

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16. 科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为1620年（即：每经过1620年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该元素的初始存量为 $a$ ，经检测生物中该元素现在的存量为 $\frac{a}{5}$ ，（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ）请推算该生物距今大约年．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 求下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} + 2^{l o g_{2} 3} - l g \frac{5}{2} - 2 l g 2$

(2)、 $s i n (- \frac{31 π}{6})$

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18. 已知 $1 与 3$ 是函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的两个零点

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) \leq 0 ，$ 求 $x$ 的取值范围.

(3)、若 $x$ $[- 2 ， 5]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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19. 已知 $s i n α = 3 c o s α$ .

(1)、求 $t a n (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $s i n 2 α - s i n^{2} (\frac{π}{2} - α)$ 的值.

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20. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} (- x + 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的解析式，并判断其单调性（无需证明）；

(2)、若 $f (3 a - 1) > - 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 2023年某市某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本500万元，每生产 $x$ 百台设备，需另投入成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x \leq 60 \\ \frac{701 x^{2} - 9600 x + 10000}{x} ， x > 60 \end{array}$ 根据市场行情，每百台设备售价为700万元，且当年内生产的设备当年能全部销售完．

(1)、求2023年该企业年利润 $Z$ （万元）关于年产量 $x$ （百台）的函数关系式；

(2)、2023年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额－成本）

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22. 已知 $\frac{π}{3}$ 是函数 $f (x) = 2 a s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x + 1$ 的一个零点.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 单调递减区间.

(3)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域。

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