湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高二上学期期末监测数学试题

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

1. 数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{3} = 3$ ，公比q=3，则 $a_{5} =$ （　　）

A、 $15$ B、 $16$ C、 $27$ D、 $25$

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2. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点坐标是（　　）

A、 $（ 0 ， 2 ）$ B、 $（ 0 ， 1 ）$ C、 $（ 1 ， 0 ）$ D、 $（ 0 ， \frac{1}{4} ）$

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3. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0 ， b > 0 ）$ 的渐近线方程是 $y = \pm 2 x$ ，则其离心率为（　　）

A、 $5$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{3} $ D、 $\sqrt{5} $

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5. 已知函数 $f （ x ）$ 的导函数是f'（x），f'（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A、函数 $f （ x ）$ 在（-2， -1）上单调递减 B、函数 $f （ x ）$ 在x＝3处取得极大值 C、函数 $f （ x ）$ 在（-1， 1）上单调递减 D、函数 $f （ x ）$ 共有4个极值点

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6. “ $m = \frac{1}{2}$ ”是“直线 $（ m + 2 ） x + 3 m y + 1 = 0$ 与直线 $（ m - 2 ） x + （ m + 2 ） y - 3 = 0$ 垂直”的（　　）

A、充分必要条件 B、充分非必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知圆 ${（ x - 1 ）}^{2} + {（ y - 1 ）}^{2} = 4$ 关于直线 $a x + b y - 4 = 0 （ a > 0 ， b > 0 ）$ 对称，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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8. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，则直线 $D E$ 与体对角线 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、0

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9. 下列四个命题中错误的有（　　）

A、直线的倾斜角越大，其斜率越大 B、直线倾斜角的取值范围是 ${[0 ， 180}^{\circ} ）$ C、两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等 D、过点 $A （ 2 ， 1 ）， B （ - 1 ， 1 ）$ 的直线 $A B$ 平行于直线 $y = 3$

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10. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，若 $a_{15} > 0 ， a_{16} < 0$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $a_{1} > 0$ B、 $d < 0$ C、前 $15$ 项和 $S_{15}$ 最大 D、从第 $32$ 项开始， $S_{n} <$ 0

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11. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 2 ， - 3) ， \vec{c} = (2 ， - 4 ， 6)$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b} $ B、 $\vec{b}$ // $\vec{c}$ C、＜ $\vec{a} ， \vec{c}$ ＞为钝角 D、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(4 ， 0 ， 4)$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ 0 < b < 2 ）$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 和 $B$ 两点，若 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的最大值为 $5$ ，则下列说法中正确的是（　　）

A、椭圆的短轴长为 $4 \sqrt{3} $ B、当 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 最大时， $| A F_{2} | = | B F_{2} |$ C、椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ D、 $| A B |$ 的最小值为 $3$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 如果双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1 右支$ 上一点 $P$ 到左焦点 $F_{1}$ 的距离等于 $6$ ，则点 $P$ 到另一个焦点 $F_{2}$ 的距离为.

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14. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，且 $\vec{A P} = \vec{A D} + x \vec{A B} + y \vec{A A_{1}}$ ，则实数 $x + y$ 的值为

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15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，其前n项和分别为S_n、T_n ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 1}{n + 5}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}}$ ＝.

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ ，过焦点 $F$ 的直线与抛物线相交于 $A ， B$ 两点，且 $| A F | = 2 | B F |$ ，则 $| A B | =$ .

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四、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知点P和点Q是曲线y＝x²-2x-3上的两点，且点P的横坐标是2，点Q的纵坐标是-4，求：

(1)、割线PQ的斜率；

(2)、在点P处的切线方程.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为公差不为零的等差数列， $a_{1} = 1$ ，记 $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，____.
给出下列三个条件：条件① $S_{100} = 10000$ ；条件② $a_{2} ， a_{5} ， a_{14}$ 成等比数列；条件③ ${（ - 1 ）}^{1} a_{1} + {（ - 1 ）}^{2} a_{2} + {（ - 1 ）}^{3} a_{3} + \dots + {（ - 1 ）}^{2022} a_{2022} = 2022$ 。试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知圆C： $（ x - 1 ）^{2} + （ y - 2 ）^{2} = 25$ ，直线 $l$ ： $（ 2 m + 1 ） x + （ m + 1 ） y - 7 m - 4 = 0$ .

(1)、求证：直线 $l$ 恒过定点；

(2)、求直线 $l$ 被圆C截得的弦长最短时 $m$ 的值以及最短弦长.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = 4 ， A B = 3 ， B C = 5$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A B ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、试求二面角 $D - C A_{1} - A$ 的余弦值.

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{8} = 100$ ， $a_{2} = 5$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为P_n ，且 $P_{n} = 2^{n + 1} - 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0 ， 3)$ ，离心率 $e = \frac{4}{5}$ .

(1)、求椭圆方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 3$ 与椭圆交于不同的两点 $M ， N$ .若满足 $|A M| = |A N|$ ，求直线 $l$ 的方程。

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