湖南省株洲市部分中学2023-2024年高一上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-08 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x - 3 ＞ 0$ ，则p的否定为（）

A、 $\forall x \in R ， x - 3 \leq 0$ B、 $\exists x \in R ， x - 3 \leq 0$ C、 $\forall x \in R ， x - 3 > 0$ D、 $\exists x \notin R ， x - 3 > 0$

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2. 集合 ${1 ， 2}$ 的子集个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 下列大小关系错误的是（）

A、 $l o g_{2} 3 < l o g_{2} 5$ B、 $s i n 34 ° > s i n 32 °$ C、 $0 . 2^{4} > 0 . 2^{3}$ D、 $t a n 10 ° < t a n 15 °$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为D，区间 $I \subseteq D$ ，设 $Δ x = x_{1} - x_{2} ， Δ y = f (x_{1}) - f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则“ $\forall x_{1} ， x_{2} \in I ，$ $\frac{△ y}{△ x} > 0$ ”是“函数 $f (x)$ 在区间I上单调递增”的（）

A、充分必要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ ，现用二分法求函数 $f (x)$ 在 $(1 ， 3)$ 内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（）

A、 $(1 ， \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ C、 $(2 ， \frac{5}{2})$ D、 $(\frac{5}{2} ， 3)$

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6. 从A地到B地的距离约为 $300 k m$ ，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：km/h）（ $0 \leq v \leq 120$ ）的如下数据：
v
0
40
60
80
120
Q
0
7
8
10
20
为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（）

A、 $Q = a \sqrt{v} + b$ B、 $Q = a v^{3} + b v^{2} + c v$ C、 $Q = 0 . 6^{v} + b$ D、 $Q = k l o g_{a} v + b$

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7. 已知 $t a n (\frac{π}{3} + α) = 3 ， t a n (\frac{π}{6} - β) = 2$ ，则 $t a n (\frac{π}{6} + α + β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 对 $\forall x ， y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2$ ，若 $F (x) = \frac{2 x^{3}}{1 + c o s x} + f (x)$ 在 $[- 2022 ， 2022]$ 上存在最大值M和最小值m，则 $M + m =$ （）

A、8 B、4 C、2 D、0

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知集合M，N满足 $M ∪ N = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， M ∩ N = {1 ， 3}$ ，则集合M，N可能是（）

A、 $M = {1 ， 3 ， 5} ， N = {2 ， 4 ， 6}$ B、 $M = {1 ， 3 ， 5 ， 6} ， N = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 $M = {1 ， 3 ， 4} ， N = {1 ， 3 ， 6}$ D、 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 5} ， N = {1 ， 3 ， 4 ， 6}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x - 2 ， x > 0 \\ x + 2 ， x < 0 \end{cases}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq 0}$ B、 $f (x)$ 的值域为R C、 $f (x)$ 为增函数 D、 $f (x)$ 的图象关于坐标原点对称

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11. 已知正数m ， n满足 $2 m + n = 2$ ，则（）

A、 $0 < m < \frac{1}{2}$ B、 $m n \leq \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{4} < {(\frac{1}{2})}^{m + n} < \frac{1}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ，将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的有（）

A、 $g (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、函数 $y = l o g_{\frac{1}{3}} [g (x) - 1]$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$ C、若存在 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} \in [0 ， \frac{5 π}{4}]$ 使得 $g (x_{1}) = g (x_{2}) = g (x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的最大值与最小值的和为 $\frac{43 π}{12}$ D、设直线 $x = t (t \in R)$ 与 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象分别交于M，N两点，则 $| M N |$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $M (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $s i n α =$ ．

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14. 某汽车租赁公司的月收益y（单位：千元）与每辆车的月租金x（单位：千元）间的关系为 $y = - x^{2} + 10 x + 75$ ．若要使公司的月收益最大，则每辆车的租金为千元．

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15. 函数 $f (x) = e^{x}$ （其中 $e = 2.71828$ …为自然对数的底数）的反函数为 $g (x)$ ，则 $f (l n (l o g_{3} e)) \cdot g (3) =$ ．

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16. 若函数 $f (x) = l o g_{2} (3 - a x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的最大值为2，则实数 $a =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17. 求下列各式的值：

(1)、 ${(\frac{16}{9})}^{\frac{1}{2}} + \sqrt{{(π - 2)}^{2}} - l g 0.01$ ；

(2)、 $s i n 270 ° + t a n 420 ° + 2 c o s (- \frac{7 π}{3})$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + (m - 3) x + m} (m \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求实数m的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的定义域为R，求实数m的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x (1 + \frac{m}{2} t a n x) (m \in R)$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = 1 + \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域与最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2})$ 时，求 $f (x)$ 的值域

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20. 为了响应国家“土地流转”政策，某公司在城郊租赁了大量土地作为蔬菜种植基地，种植的蔬菜销往城内各大超市和农贸市场．今年冬季的某一天（记为第1天）有一批绿色有机大白菜开始陆续上市．据预测，大白菜上市的第1天至第60天内，每天的产量x（单位：kg）（注：每天的产量即为每天的销售量）近似地满足图1所示的两条线段对应的函数关系；每天的销售价格y（单位：元/kg）近似地满足图2（其中前一段为线段，后一段为函数 $y = a + \frac{b}{t}$ ） $(t \in N^{*})$ 所示的函数关系．

(1)、求这60天内每天的产量x，每天的销售价格y与第t天的函数关系；

(2)、从开始销售起第几天的销售收入w（单位：元）最大?最大的销售收入是多少元?

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21. 已知 $f (x)$ 为二次函数， $f (1) = - 9$ ，不等式 $f (x) + 3 x < 0$ 的解集为 $(- 1 ， 4)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[s ， t]$ 上的值域为 $[- 13 ， - 4]$ ，求s，t满足的条件．

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22. 已知函数 $h (x) = l o g_{m} \frac{x - 4}{x + 4}$ 在定义域 $[a ， b]$ 上为减函数，且值域为 $[l o g_{m} m (b - 1) ， l o g_{m} m (a - 1)]$

(1)、证明： $a > 4$ ；

(2)、求实数m的取值范围；

(3)、求 $g (x) = l o g_{m} m (x - 1) - h (x) (x \in [a ， b])$ 的最大值．

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v	0	40	60	80	120
Q	0	7	8	10	20