湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：开学考试

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一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1. 设复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部是（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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2. 已知集合 $A = {x | | x - 3 | < 2}$ ， $B = {x | \frac{2 x - 1}{x - 2} \leq 1}$ ，则A∪B=（）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $[- 1 ， 5]$ D、 $[- 1 ， 5)$

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3. 有4位教师在同一个年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（）

A、8种 B、9种 C、10种 D、11种

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4. 函数 $y = l o g_{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 3 x + 1)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$

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5. 函数 $y = \frac{x^{2} l n | x |}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足 $- 4 \leq x - y \leq - 1$ ， $- 1 \leq 2 x - y \leq 5$ ，则 $y$ 的取值范围是（）

A、 ${y | 0 \leq y \leq 9}$ B、 ${y | - 5 \leq y \leq 4}$ C、 ${y | 1 \leq y \leq 13}$ D、 ${y | 0 \leq y \leq 13}$

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7. 已知抛物线 $C ： x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 与 $\frac{y^{2}}{8} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的一个焦点重合，过焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，抛物线 $C$ 在 $A ， B$ 两点处的切线相交于点 $M$ ，且 $M$ 的横坐标为4，则弦长 $| A B | =$ （）

A、12 B、14 C、15 D、16

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ 平面 A B C$ ， $A B = A C ， ∠ B A C = 9 0^{。}$ ，且 $A B + P A = 6$ ，当三棱锥 $P - A B C$ 的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（）

A、 $27 π$ B、 $36 π$ C、 $54 π$ D、 $72 π$

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二、选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）

9. 关于曲线 $\frac{x^{2}}{5 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ ，下列叙述正确的是（）

A、当 $m = - 2$ 时，曲线表示的图形是一个圆 B、当 $m = 2$ 时，曲线表示的图形是一个焦点在 $x$ 轴上的椭圆 C、当 $m = 3$ 时，曲线表示的图形是一个圆 D、当 $m = 4$ 时，曲线表示的图形是一个焦点在 $y$ 轴上的椭圆

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10. 在三角形ABC中，下列结论正确的是（）

A、 $s i n (A + B) = s i n C$ B、 $s i n \frac{B + C}{2} = c o s \frac{A}{2}$ C、 $t a n (A + B) = - t a n C (C \neq \frac{π}{2})$ D、 $c o s (A + B) = c o s C$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 + 3 a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 ${\frac{1}{a_{n}} + 3}$ 为等比数列 B、 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1} - 3}$ C、 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n} = 2^{n + 2} - 3 n - 4$

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12. 关于函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若过点 $(a ， b)$ 可以作曲线 $f (x)$ 的两条切线，则 $0 < b < e^{a}$ B、若 $f (x) - k x \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为 $0 \leq k \leq e$ C、若 $g (x) \leq m f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上恒成立，则 $m \geq \frac{4}{e^{2}}$ D、若函数 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x)} - t$ 有且只有一个零点，则实数 $t$ 的范围为 $t > \frac{4}{e^{2}}$

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三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13. 设等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 2}{2 n + 1}$ ，则 $\frac{a_{10}}{b_{10}} =$ ．

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14. 已知圆M： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 和点P $(3 ， 5)$ ，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为

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15. 在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若 $\vec{C G} = λ \vec{C D} + μ \vec{C B} (λ ， μ \in R)$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + l n x$ 有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < x_{1} + x_{2} + t$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是

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四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18至22题每小题12分，共计70分．请在答题卡指定区域作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ ．

(1)、求 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ， $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ；

(2)、判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y} - \bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2} + s_{2}^{2}}{10}}$ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{\sqrt{3}}{3} b s i n C + c c o s B = a$ ．

(1)、若 $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 和等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ， a_{3} = 6$ 且当 $n \geq 2$ 时， $l o g_{2} a_{n} = 1 + b_{n} \cdot l o g_{2} 3$ $.$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ $.$

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20. 如图，多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E F$ ， $E F / / A D$ ， $A F = A D = 2$ ， $E F = 1$ ， $C F = 2 \sqrt{3}$ ， $B E$ 与 $C F$ 交于点 $M$ ．

(1)、若 $N$ 是 $B F$ 中点，求证： $A N ⊥ C F$ ；

(2)、求直线 $M D$ 和平面 $A B E$ 所成角的正弦值．

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21. 如图，已知点 $T_{1} (3 ， - \sqrt{5})$ 和点 $T_{2} (- 5 ， \sqrt{21})$ 在双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，双曲线 $C$ 的左顶点为 $A$ ，过点 $L (a^{2} ， 0)$ 且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ ， $A Q$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 分别交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、证明：直线 $M N$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = x (1 - l n x)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a$ ， $b$ 为两个不相等的正数，且 $b l n a - a l n b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ .

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旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5