上海市重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月阶段性测试试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

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一、填空题（共54分,第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 4)$ ，向量 $\vec{b} = (1 ， 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为．

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2. 如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其第60百分位数为.

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3. 已知集合 $A = {x | | x - 1 | \leq 2} ， B = {x | y = l g (\frac{4}{x} - 1)}$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $D ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有相同的焦点 $F_{1} ， F_{2}$ ，且它们的离心率互为倒数， $P$ 是 $C$ 与 $D$ 的一个公共点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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5. 设a、b是实数，且a+b=3，则2^a+2^b的最小值是．

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6. 密切圆（Osculating Circle），也称曲率圆，即给定一个曲线及其上一点P ，会有一个圆与曲线切在P点，而且是与曲线在该点邻近最贴近的圆，换言之，没有一个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此圆称为曲线在点P处的密切圆，密切圆可能是与曲线在该点相切的圆中半径最大的（比如在抛物线顶点处的内切圆），曲线上某点的曲率圆的半径称为曲率半径.抛物线C： $y^{2} = 3 x$ 在顶点处的（曲率半径为.

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7. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α ，大正方形的面积为 $S_{1}$ ，小正方形的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 3$ ，则 $s i n α + c o s α$ 的值为

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8. 2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司 $o p e n A I$ 发布的名为“ $C h a t G T P$ ”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 $L = L_{0} D^{\frac{G}{G_{0}}}$ ，其中 $L$ 表示每一轮优化时使用的学习率， $L_{0}$ 表示初始学习率， $D$ 表示衰减系数， $G$ 表示训练迭代轮数， $G_{0}$ 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 $0.5$ ，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为 $0.4$ ，则学习率衰减到 $0.2$ 以下（不含 $0.2$ ）所需的训练迭代轮数至少为.（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

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9. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为 $⊙ O$ ，在 $⊙ O$ 内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为 $⊙ O_{1}$ ，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作n次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后所得 $⊙ O_{4}$ 的面积为；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为．

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10. 已知 $x$ 为实数，用 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数．对于函数 $y = f (x)$ ，若存在 $m \in R$ 且 $m \notin Z$ ，使得 $f (m) = f ([m])$ ，则称 $y = f (x)$ 是“ $Ω$ 函数”．若函数 $y = x + \frac{4 - a^{2}}{x}$ 是“ $Ω$ 函数”，则正实数 $a$ 的取值范围是

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11. 已知点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上，P到三个平面ABCD、 $A D D_{1} A_{1}$ 、 $A B B_{1} A_{1}$ 中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为．

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12. 已知曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + a x y = 1 (a \in R)$ ，则下列说法中：
①无论 $a$ 取何值，曲线 $C$ 都关于原点中心对称；
②存在唯一的实数 $a$ 使得曲线 $C$ 表示两条直线；
③当 $a = 1$ 时，曲线 $C$ 上任意两点间距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$ ；
④当 $a > 2$ 时，曲线 $C$ 是双曲线.
所有正确的序号是.

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二、单选题（共18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）

13. “ $a = - 3$ ”是“直线 $x + a y + 2 = 0$ 与直线 $a x + (a + 2) y + 1 = 0$ 互相垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 若不等式 $| x - a | - | x | < 2 - a^{2}$ ，当 $x \in R$ 时总成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ，且 $A A_{1} = A B = 2$ .下列说法错误的是（）

A、四棱锥 $B - A_{1} A C C_{1}$ 为“阳马” B、四面体 $A_{1} C_{1} C B$ 为“鳖臑” C、四棱锥 $B - A_{1} A C C_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{2}{3}$ D、过A点作 $A E ⊥ A_{1} B$ 于点E，过E点作 $E F ⊥ A_{1} B$ 于点F，则 $A_{1} B ⊥$ 面AEF

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16. 对于数列 ${x_{n}}$ ，若存在正数 $M$ ，使得对一切正整数 $n$ ，恒有 $| x_{n} | \leq M$ ，则称数列 ${x_{n}}$ 有界；若这样的正数 $M$ 不存在，则称数列 ${x_{n}}$ 无界，已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = l n (λ a_{n} + 1) (λ > 0)$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = 1$ 时，数列 ${S_{n}}$ 有界 B、当 $λ = 1$ 时，数列 ${T_{n}}$ 有界 C、当 $λ = 2$ 时，数列 ${S_{n}}$ 有界 D、当 $λ = 2$ 时，数列 ${T_{n}}$ 有界

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三、解答题（共78分）

17. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的值域.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若椭圆C与直线 $y = x + m$ 交于M ， N两点，且 $| M N | = \frac{12 \sqrt{2}}{7}$ ，求实数 $m$ 的值.

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19. 南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台 $P$ 在半圆形的中轴线 $O C$ 上（图中 $O C$ 与直径 $A B$ 垂直， $P$ 与 $O ， C$ 不重合），通过栈道把 $P A ， P B ， P C ， A B$ 连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知 $A B = 200 m ， ∠ P A B = θ$ ，栈道总长度为函数 $f (θ)$ ．

(1)、求 $f (θ)$ ；

(2)、若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台 $P$ 的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．

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20. 设 $f (z)$ 是一个关于复数z的表达式，若 $f (x + y i) = x_{1} + y_{1} i$ （其中x ， y ， $x_{1}$ ， $y_{1} \in R$ $，$ $i$ 为虚数单位），就称f将点 $P (x ， y)$ “f对应”到点 $Q (x_{1} ， y_{1})$ ．例如 $f (z) = \frac{1}{z}$ 将点 $(0 ， 1)$ “f对应”到点 $(0 ， - 1)$ ．

(1)、若 $f (z) = z + 1 (z \in C)$ 点 $P_{1} (1 ， 1)$ “f对应”到点 $Q_{1}$ ，点 $P_{2}$ “f对应”到点 $Q_{2} (1 ， 1)$ ，求点 $Q_{1}$ 、 $P_{2}$ 的坐标；

(2)、设常数 $k$ ， $t \in R$ ，若直线l： $y = k x + t$ ， $f (z) = z^{2} (z \in C)$ ，是否存在一个有序实数对 $(k ， t)$ ，使得直线l上的任意一点 $P (x ， y)$ “对应”到点 $Q (x_{1} ， y_{1})$ 后，点Q仍在直线 $l$ 上？若存在，试求出所有的有序实数对 $(k ， t)$ ；若不存在，请说明理由；

(3)、设常数 $a$ ， $b \in R$ ，集合 $D = {z | z \in C$ 且 $R e z > 0}$ 和 $A = {ω | ω \in C$ 且 $| ω | < 1}$ ，若 $f (z) = \frac{a z + b}{z + 1}$ 满足：①对于集合D中的任意一个元素z ，都有 $f (z) \in A$ ；②对于集合A中的任意一个元素 $ω$ ，都存在集合D中的元素z使得 $ω = f (z)$ ．请写出满足条件的一个有序实数对 $(a ， b)$ ，并论证此时的 $f (z)$ 满足条件．

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21. 已知函数 $f (x) = x (e^{x} - 1) - a x^{2}$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \in (0 ， 1]$ 时 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

(3)、定义函数 $y = f (x)$ ，对于数列 ${a_{n}} 、 {b_{n}}$ ，若 $a_{n} = f (n) ， f (b_{n}) = n$ ，则称 ${a_{n}}$ 为函数 $y = f (x)$ 的“生成数列”， ${b_{n}}$ 为函数 $y = f (x)$ 的一个“源数列”.
①已知 $f (x) = e^{x} ， {b_{n}}$ 为函数 $y = f (x)$ 的“源数列”，求证：对任意正整数 $n$ ，均有 $b_{n} \leq {(n - 1)}^{2}$ ；
②已知 $f (x) = 2^{x} + x ， {a_{n}}$ 为函数 $y = f (x)$ 的“生成数列”， ${b_{n}}$ 为函数 $y = f (x)$ 的“源数列”， ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的公共项按从小到大的顺序构成数列 ${c_{n}}$ ，试问在数列 ${c_{n}}$ 中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.

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