广东省潮州市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测数学

试卷更新日期：2024-03-07 类型：期末考试

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一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）

1. 设集合 $M = {x | x (x - 2) < 0}$ ， $N = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 3}$ C、 ${1}$ D、 ${3}$

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2. 已知i为虚数单位，若复数 $z = \frac{3 + a i}{2 + i}$ 对应的点在复平面的虚轴上，则实数 $a =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、6 D、 $- 6$

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3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为 $π$ 的扇形，则这个圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 命题“ $\exists x \in [1 ， 3]$ ， $x^{2} - a > 0$ ”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \geq 9$ B、 $a \leq 9$ C、 $a \geq 10$ D、 $a \leq 10$

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5. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $- \vec{b}$

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6. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + l n x$ 在 $(0 ， 2)$ 上有极值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， \frac{5}{2}]$ B、 $(2 ， \frac{5}{2}]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，M、N，P是双曲线 $C$ 上的点，其中线段 $M N$ 的中点恰为坐标原点 $O$ ，且点 $M$ 在第一象限，若 $\vec{N P} = 3 \vec{N F}$ ， $∠ O F M = ∠ O M F$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{34}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 满足 $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ ，若 $0 < x_{1} < x_{2} < π$ 且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (x_{2} - x_{1})$ 的值为 $()$

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）

9. 下列说法中正确的是（）

A、某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，则这组数据的第70百分位数为8 B、若随机变量 $X ~ B (100 ， p)$ ，且 $E (X) = 20$ ，则 $D (X) = 16$ C、若随机变量 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，且 $P (X > 4) = P (X < - 2) = p$ ，则 $P (- 2 \leq X \leq 1) = \frac{1}{2} - p$ D、对一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{n} ， y_{n})$ 进行分析，由此得到的回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则至少有一个数据点在回归直线上

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10. 已知 $a = l o g_{3} 4$ ， $b = \frac{4}{3}$ ， $c = l o g_{4} 5$ ，则（）

A、 $c < a$ B、 $b < c$ C、 $a < b$ D、 $c < b < a$

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11. 设过点 $M (2 ， 0)$ 的直线与圆 $C ： (x - 4)^{2} + y^{2} = 16$ 相交于A，B两点，若点 $P (0 ， 4)$ ，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的值可能为（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、12 D、 $12 \sqrt{2}$

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12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{5}{9}$ B、 $P_{n + 1} = \frac{2}{3} P_{n} + \frac{1}{3}$ C、点Q移动4次后恰好位于点 $C_{1}$ 的概率为0 D、点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 $\frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{10} + \frac{1}{2}$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有种．（用数字作答）

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14. O为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $| P F | = 4 ∣$ ，则 $△ P O F$ 的面积为．

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15. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{10} = 0$ ， $S_{15} = 25$ ，若 $b_{n} = n \cdot S_{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 中最小项的值为．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - a ， & x \leq 0 \\ l n x ， & x > 0 \end{array}$ ，已知直线 $y = t$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象交于A、B两点，且 $| A B |$ 的最小值为 $e^{2}$ （e为自然对数的底），则 $a =$ ．

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四、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分）

17. 公比为 $q$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + a$ ．

(1)、求 $a$ 与 $q$ 的值；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{T_{2}} + \frac{1}{T_{3}} + ⋯ + \frac{1}{T_{n + 1}} < 2$ ．

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18. 2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 内，统计结果如频率分布直方图所示．

(1)、根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；

(2)、为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[80 ， 90)$ 的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于 $[80 ， 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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19. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ （如图1），将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起到 $△ A C D_{1}$ 的位置，使得点 $D_{1}$ 在平面 $△ A B C$ 上的射影 $E$ 在 $A B$ 边上，连结 $B D_{1}$ （如图2）．

(1)、证明： $A D_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、过直线 $D_{1} E$ 的平面 $α$ 与 $B C$ 平行，求平面 $α$ 与平面 $A C D_{1}$ 夹角的余弦值．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 a c o s B = 2 c - b$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为线段 $B C$ 延长线上一点，且 $B A ⊥ A D$ ， $B D = 3 C D$ ，求 $t a n ∠ A C D$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = x (l n x + a) + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线为 $2 x - y - 1 = 0$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、若对任意的 $x \in (1 ， + \infty)$ ， $f (x) \geq m (x - 1)$ 恒成立，求正整数 $m$ 的最大值．

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22. 设圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0$ 的圆心为 $A$ ，直线 $l$ 过点 $B (1 ， 0)$ 且与 $x$ 轴不重合， $l$ 交圆 $A$ 于C，D两点，过 $B$ 作 $A C$ 的平行线交 $A D$ 于点 $E$ ．

(1)、证明： $| E A | + | E B |$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程；

(2)、设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ ，直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于M，N两点，过 $B$ 且与 $l$ 垂直的直线与圆 $A$ 交于P，Q两点，求四边形 $M P N Q$ 面积的取值范围．

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一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

四、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分）

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