广西南宁市重点中学（五象校区）2024届高三上学期12月第一次适应性考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合 $A = {x \in Z | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ， $B = {x | l o g_{2} x > 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${1 ， 4}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 若 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加。主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（）

A、15 B、30 C、25 D、16

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4. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (3 - x) + l o g_{a} (x + 1) (0 < a < 1)$ ，若 $f (x)$ 的最小值为﹣2，则a＝（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左右焦点，直线 $y = \sqrt{3} x$ 与椭圆交于A、B两点，若 $F_{1}$ 、A、 $F_{2}$ 、B四点共圆，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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6. 已知直线 $l ： x + y + m = 0$ 和圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 4 y = 0$ 相交于M，N两点，当 $△ C M N$ 的面积最大时，m＝（）

A、 $m = 0$ 或 $m = 2$ B、 $m = - 4$ 或 $m = 4$ C、 $m = 0$ 或 $m = 4$ D、 $m = 0$ 或 $m = - 4$

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7. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ．若命题 $p ： a_{n + 1} + a_{n} = 2^{n + 1} + 2^{n}$ ，命题 $q ： {a_{n} - 2^{n}}$ 是等比数列，则p是q的（）条件．

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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8. 设 $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，若 ${(s i n θ + c o s θ)}^{2} + \sqrt{3} c o s 2 θ = 3$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知一组样本数据 $x_{i} = 2 i (1 \leq i \leq 10 ， i \in N_{+})$ ，由这组数据得到另一组新的样本数据 $y_{1} ， y_{2} ， \dots ， y_{10}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} - 20$ ，则（）

A、两组样本数据的平均数相同 B、两组样本数据的方差相同 C、样本数据 $y_{1} ， y_{2} ， \dots ， y_{10}$ 的第30百分位数为﹣13 D、将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为10

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10. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{13 π}{24}]$ 的值域为 $[- \sqrt{2} ， 2]$ D、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，所得函数为 $g (x) = 2 s i n 2 x$

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11. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 对任意实数x，y都有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = 0$ ， $f (0) \neq 0$ ，则以下结论一定正确的有（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 关于 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 中心对称 D、 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (2023) = 0$

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12. 如图，透明塑料制成的直三棱柱容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内灌进一些水， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $A C = A A_{1} = 4$ ，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（）

A、当底面 $A A_{1} C_{1} C$ 水平放置后，固定容器底面一边 $C C_{1}$ 于水平地面上，将容器绕着 $C C_{1}$ 转动，则没有水的部分一定是棱柱 B、转动容器，当平面 $A A_{1} C_{1} C$ 水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点 C、在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥 D、容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为 $\frac{3 \sqrt{2}}{16π}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数 $f (x) = a \cdot e^{- x} - e^{x}$ 是奇函数，则a＝．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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15. 已知圆台轴截面的面积为6，轴截面有一个角为120°，则该圆台的侧面积为．

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16. 已知直线与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于A，B两点，抛物线的焦点为F，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 20$ ， $O D ⊥ A B$ 于点D，点D的坐标为 $(- 2 ， 1)$ ，则 $| A F | + | B F | =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中， $a = 3$ ， $b - c = 2$ ， $c o s B = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求b，c的值；

(2)、求 $s i n (B + C)$ 的值．

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18. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．

(1)、从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；

(2)、掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．

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19. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0 ， b > 0$ )经过点 $(- 2 ， \sqrt{6})$ ，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过点 $P (1 ， 1)$ 的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．

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20. 如图，三棱台ABC﹣DEF，H在AC边上，平面 $A C F D ⊥$ 平面ABC， $∠ A C D = 60 °$ ， $C H = 2$ ， $C D = 4$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $B H ⊥ B C$ ．

(1)、证明： $E F ⊥ B D$ ；

(2)、若 $\frac{D F}{A C} = \frac{1}{2}$ ， $△ D E F$ 面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{16}$ ，求CF与平面ABD所成角的正弦值．

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21. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ( $n \in N^{*}$ )．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 ${d_{n}}$ 中是否存在3项 $d_{m}$ ， $d_{k}$ ， $d_{p}$ （其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a l n x + (1 - a) x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) \leq x (e^{x} - 1) + \frac{1}{2} x^{2} - 2 l n x$ ．

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