广东省深圳市龙华区2023-2024学年高一上学期1月期末学业质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 半径为 $2$ 的圆中，弧长为 $\frac{2 π}{3}$ 的圆弧所对的圆心角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + l n (x + 1)$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $(- 1 ， 3]$

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3. “ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $a = l o g_{3} 0.9$ ， $b = 3^{0.9}$ ， $c = 0 . 9^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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5. 如图，直线和圆 $c$ ，当 $l$ 从 $l_{0}$ 开始在平面上绕点 $O$ 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过 $90 °$ ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 $S$ 是时间 $t$ 的函数，这个函数的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 定义一种运算： $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$ ．已知函数 $f (x)$ = $|\begin{matrix} c o s 2 x & s i n \frac{π}{4} \\ s i n 2 x & c o s \frac{π}{4} \end{matrix}|$ ，为了得到函数 $y = c o s 2 x$ 的图象，只需把函数 $y = f (x)$ 图象上的所有点（）

A、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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7. 如图，有三个相同的正方形相接，若 $∠ A B C = α ， ∠ A C D = β$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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8. 设集合 $A = {(x ， y) | l o g_{a} x + l o g_{a} y = 0}$ ， B= ${（ x ， y ） | x + y = a}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则a的取值范围是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $1 < a < 2$ C、 $0 < a < 2$ 且 $a \neq 1$ D、 $a > 2$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列各组函数中，是相同函数的是（）

A、 $f （ x ） = \sqrt[3]{x^{3}}$ 与g（x）=x B、f（x）=2lnx与 $g (x) = l n x^{2}$ C、 $f (x) = 2^{2 x}$ 与 $g (x) = 4^{x}$ D、 $f (x) = l g \frac{x}{x - 1}$ 与 $g (x) = l g x - l g (x - 1)$

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10. 已知非零实数a，b满足 $a > b$ ，则（）

A、 $a （ a - b ） > b （ a - b ）$ B、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ C、 $3^{- a} < 3^{- b}$ D、 $l n (1 + e^{a}) > l n (1 + e^{b})$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $f (x)$ 在其定义域内单调递减 D、方程 $f (x) = x + 1$ 有且仅有两根

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ），x= $- \frac{π}{4}$ 为 $f (x)$ 的零点，且在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减，则下列结论正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{4} ω$ B、若 $f (\frac{π}{6}) + f (\frac{π}{3}) = 0$ ，则 $f (\frac{π}{4}) = 0$ C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{6}{5} ， \frac{18}{7}]$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x \in N | 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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14. 设a， $b$ 均为实数，且 $3^{a} = 6^{b} = 4$ ，则 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} =$ ．

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15. 如图，单位圆被点 $A_{1} (1 ， 0)$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{12}$ 平均分成 $12$ 份，以 $x$ 轴的正半轴为始边， $O A_{i}$ （ $i = 1 ， 2 ，$ … $， 12$ ）为终边的角记为 $α_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{12} c o s α_{i}$ = ， $\sum_{i = 1}^{7} s i n α_{i}$ = ．（说明：∑是一个连加符号， $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = x_{1} + x_{2} +$ … $+ x_{n}$ ）

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16. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = {\begin{cases} (2 - a) x ， x \leq 1 ， \\ a^{x - 1} ， x > 1 \end{cases}$ 中至少存在两点 $A$ ， B，使 $A$ ， $B$ 关于 $y$ 轴对称，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.

(1)、计算： $\sqrt[3]{\frac{1}{27}} + (3 \frac{3}{8})^{- \frac{1}{3}} + l o g_{2} 12 - l o g_{2} 3$ ；

(2)、已知角 $α$ 终边上一点 $P (\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ ，求 $\frac{t a n (π - α) s i n (- α) c o s (4 π - α)}{s i n (α + \frac{3 π}{2}) c o s (\frac{π}{2} - α)}$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (2 x + φ)$ $(| φ | < \frac{π}{2})$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{12}$ ．

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、当 $x \in [0 ， π]$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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19. 如图，给出函数 $f (x) = x^{2}$ 的部分图象．

(1)、请在图中同一坐标系内画出函数 $g (x) = 2^{x}$ 的图象．设 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $y$ 轴左边的交点为 $A$ ，试用二分法求出 $A$ 的横坐标 $x_{0}$ 的近似解（精确度为0.3）；

(2)、用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) =$ $m a x {f (x) ， g (x)}$ ，请写出 $M (x)$ 的解析式．

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} x + m \cdot l o g_{x} 3$ ， $x > 0$ 且 $x \neq 1$ ．

(1)、若 $m = - 3$ ，求方程 $f (x) = 2$ 的解；

(2)、若对 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) > 4 m - 2$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 如图所示，某开发区有一块边长为 $\sqrt{6}$ $k m$ 的正方形空地 $A B C D$ ．当地政府计划将它改造成一个体育公园，在半径为 $2$ $k m$ 的扇形 $E A F$ 上放置健身器材，并在剩余区域中修建一个矩形运动球场 $P M C N$ ，其中是弧 $E F$ 上一点， $M 、 N$ 分别在边BC、CD上．设 $∠ P A E = θ$ ，球场 $P M C N$ 的面积 $S = f (θ)$ ．

(1)、求 $S = f (θ)$ 的解析式；

(2)、若球场平均每平方米的造价为 $\frac{100}{s i n (θ + \frac{π}{4})}$ 元，问：当角 $θ$ 为多少时，球场的造价 $W$ 最低．

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22. 若函数y=f（x）的定义域为（0，m），若对于给定的正实数n，存在0＜x₀＜m-n，使得f（x₀）=f（x₀+n），则称函数y=f（x）在（0，m）上具有性质P（n）．

(1)、若函数f（x）=x+ $\frac{1}{x}$ 在区间（0，m）上具有性质P（1），求正整数m的最小值；

(2)、若函数f（x）=sinπx在区间（0，2）上具有性质P（n），求n的取值范围．

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