广东省深圳重点大学附中2023-2024学年七年级（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-07 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $- 2023$ 的倒数是（）

A、 $2023$ B、 $- \frac{1}{2023}$ C、 $- 2023$ D、 $\frac{1}{2023}$

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2. 深圳市 $2023$ 年的常住人口数量为 $1766$ 万人，其中 $1766$ 万用科学记数法可表示为（）

A、 $1.766 \times 10^{2}$ B、 $1.766 \times 10^{6}$ C、 $1.766 \times 10^{7}$ D、 $17.66 \times 10^{6}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $2 x + 3 x = 5 x^{2}$ B、 $7 y + y = 7 y^{2}$ C、 $x^{3} + x^{3} = 2 x^{3}$ D、 $3 x^{4} - 2 x^{4} = 1$

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4. 在“ $5 \cdot 18$ 世界无烟日”来临之际，小明和他的同学为了解某街道大约有多少成年人吸烟，于是随机调查了该街道 $1000$ 个成年人，结果有 $180$ 个成年人吸烟．对于这个数据的收集与处理过程，下列说法正确的是（）

A、调查的方式是普查 B、该街道约有 $18 %$ 的成年人吸烟 C、该街道只有 $820$ 个成年人不吸烟 D、样本是 $180$ 个吸烟的成年人

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5. 若 $∠ α$ 与 $∠ β$ 互余，且 $∠ α = 3 ∠ β$ ，则 $∠ β =$ （）

A、 $22 ° 30'$ B、 $22 ° 50'$ C、 $25 °$ D、 $45 °$

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6. 北京 $2023$ 年 $1$ 月 $1$ 日的天气显示为如图，该天的温差是（）

A、 $1 ℃$ B、 $10 ℃$ C、 $19 ℃$ D、 $9 ℃$

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7. 已知式子 $y^{2} - 2 y + 6$ 的值为 $8$ ，那么式子 $- 2 y^{2} + 4 y + 5$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8. $《$ 孙子算经 $》$ 中记载：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有 $100$ 头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 $3$ 家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设有 $x$ 户人家，可列方程为（）

A、 $x + 3 x = 100$ B、 $x + \frac{x}{3} = 100$ C、 $x + \frac{3}{x} = 100$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{3}{x} = 100$

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9. 实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 在数轴上对应点的位置如图所示，以下结论正确的是（）

A、 $a c < 0$ B、 $| a + b | = a - b$ C、 $| c - a | = a - c$ D、 $| a | > | b |$

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10. 如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中 $A$ 是正方形， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 都是长方形，这五个四边形的周长分别用 $l_{A}$ ， $l_{B}$ ， $l_{C}$ ， $l_{D}$ ， $l_{E}$ 表示，则下列各式的值为定值的是（）

A、 $l_{A}$ B、 $l_{B} + l_{D}$ C、 $l_{A} + l_{B} + l_{D}$ D、 $l_{A} + l_{C} + l_{E}$

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 若 $| x | = 2$ ，则x=

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12. 高速公路的建设带动我国经济的快速发展．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是。

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13. 如图表格是一张某月日历表，省去了号码数，设 $①$ 位置的数为 $x$ ，则 $②$ 位置的数可表示为．

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14. 如图，点 $O$ 在直线 $A B$ 上， $O C ⊥ O D$ ，若 $∠ C O B = 60 °$ ，则 $∠ A O D$ 的大小为 $° .$

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15. 如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有 $13$ 位数字．它是由前 $12$ 位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码” $.$ 其中，校验码是用来校验商品条形码中前 $12$ 位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤 $1$ ：计算前 $12$ 位数字中偶数位数字的和 $a$ ，即 $a = 9 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 34$ ；
步骤 $2$ ：计算前 $12$ 位数字中奇数位数字的和 $b$ ，即 $b = 6 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 26$ ；
步骤 $3$ ：计算 $3 a$ 与 $b$ 的和 $c$ ，即 $c = 3 \times 34 + 26 = 128$ ；
步骤 $4$ ：取大于或等于 $c$ 且为 $10$ 的整数倍的最小数 $d$ ，即 $d = 130$ ；
步骤 $5$ ：计算 $d$ 与 $c$ 的差就是校验码 $X$ ，即 $X = 130 - 128 = 2$ ．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是 $5$ ，则被污染的两个数字中右边的数字是．

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三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 计算：

(1)、 $(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}) \times (- 24)$ ；

(2)、 $(- 1)^{2} + (- 2)^{3} \div 4 + | - \frac{1}{2} |$ ；

(3)、解方程： $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 2}{4} - 1$ ．

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17. 先化简，再求值： $4 x y + (2 x^{2} - x y) - 2 (x^{2} - 3 x y)$ ，其中 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = - \frac{1}{9}$ ．

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18. 如图，是由 $6$ 个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为 $1$ 厘米．

(1)、请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；

(2)、在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小正方体．

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19. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间 $t ($ 单位：分钟 $)$ ，按照完成时间分成五组：“ $A$ 组： $t \leq 45$ ”“ $B$ 组： $45 < t \leq 60$ ”“ $C$ 组： $60 < t \leq 75$ ”“ $D$ 组： $75 < t \leq 90$ ” $E$ 组： $t > 90$ ”将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题．

(1)、这次调查的样本容量是，请补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中， $B$ 组的圆心角是；

(3)、若该校共有 $2000$ 名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过 $90$ 分钟的学生人数．

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20. 现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡 $($ 注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款 $)$ ，花 $300$ 元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的 $8$ 折购物．

(1)、小张要买一台标价为 $3500$ 元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？

(2)、小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利 $25 %$ ，这台冰箱的进价是多少元？

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21. 如图 $1$ ，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺 $A O B$ 的直角顶点 $O$ 放在互相垂直的两条直线 $P Q$ 、 $M N$ 的垂足 $O$ 处，并使两条直角边落在直线 $P Q$ 、 $M N$ 上，将 $△ A O B$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ．

(1)、如图 $2$ ，若 $α = 26 °$ ，则 $∠ B O P =$ ， $∠ A O M + ∠ B O Q =$ ；

(2)、若射线 $O C$ 是 $∠ B O M$ 的角平分线，且 $∠ P O C = β$ ．
$①$ 若 $△ A O B$ 旋转到图 $3$ 的位置， $∠ B O N$ 的度数为多少？ $($ 用含 $β$ 的代数式表示 $)$
$② △ A O B$ 在旋转过程中，若 $∠ A O C = 2 ∠ A O M$ ，求此时 $β$ 的值．

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22. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为 $1$ ，我们就称这两个方程互为“阳光方程” $.$ 例如： $2 x = 2$ 的解为 $x = 1$ ， $x + 1 = 1$ 的解为 $x = 0$ ，所以这两个方程互为“阳光方程”．

(1)、若关于 $x$ 的一元一次方程 $x + 2 m = 0$ 与 $3 x - 2 = - x$ 是“阳光方程”，则 $m =$ ．

(2)、已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为 $5 .$ 若其中一个方程的解为 $x = k$ ，求 $k$ 的值．

(3)、 $①$ 已知关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{x}{2023} + a = 2023 x$ 的解是 $x = 2024$ ，请写出解是 $y = 2023$ 的关于 $y$ 的一元一次方程： $\frac{()}{2023} + 2023 ()$ $= - a . ($ 只需要补充含有 $y$ 的代数式 $)$ ．
$②$ 若关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{1}{2023} x - 1 = ()$ 和 $\frac{1}{2023} x - 5 = 2 x + a$ 互为“阳光方程”，则关于 $y$ 的一元一次方程 $\frac{y}{2023} - 9 - a = 2 y - \frac{2}{2023}$ 的解为．

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