广东省深圳市宝安区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-07 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 复数 $(2 + i)^{3}$ 的实部与虚部之和是（）

A、7 B、13 C、21 D、27

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {(x ， y) ∣ y = x^{2} - 2 x - 1} ， B = {(x ， y) ∣ y = 3 x + 1}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、无数

查看试题解析
3. 某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）

A、28 B、36 C、52 D、64

查看试题解析
4. “ $0 ⩽ x ⩽ 1$ ”是“ $\frac{1}{x} ⩾ 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = x^{5} + 4 x + a$ 在 $(- 1 ， 1)$ 内有零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 5 ， 5)$ B、 $(- ∞ ， - 5) \cup (5 ， + ∞)$ C、 $[- 5 ， 5]$ D、 $(- ∞ ， - 5] \cup [5 ， + ∞)$

查看试题解析
6. 如图，设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 $A ， B ， C$ ，其中点 $A ， B$ 在该抛物线上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，若 $| F A | = 7 ， | F B | = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{| A B |}{| B C |} =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、3

查看试题解析
7. 若函数 $f (x) = 2 c o s (x - φ) + c o s x$ 的最大值是 $\sqrt{7}$ ，则常数 $φ$ 的值可能是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
8. 已知 $H$ 是球 $O$ 的直径 $A B$ 上一点， $A H ： H B = 1 ： 2 ， A B ⊥$ 平面 $α ， H$ 为垂足， $α$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 $π ， M$ 为 $α$ 上的一点，且 $M H = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，过点 $M$ 作球 $O$ 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{11}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$

查看试题解析

二、､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a_{5}^{2} = a_{3} a_{7}$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 $a_{5}^{2} = a_{3} a_{7}$ C、若 $S_{n} = 3^{n} - 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $S_{n} = 3^{n} + a$ ，则 $a = - 1$

查看试题解析
10. 直线 $l ： (m + 2) x - 3 y - m + 1 = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 4$ ，则（）

A、圆 $C$ 的半径为2 B、直线 $l$ 过定点 $(1 ， 1)$ C、直线 $l$ 与圆 $C$ 一定有公共点 D、圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离的最大值是3

查看试题解析
11. 若直线 $y = a x + b$ 与曲线 $y = 2 + l n x$ 相切，则 $a + b$ 的取值可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

查看试题解析
12. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 ， D ， E ， F$ 分别为 $A A_{1} ， B B_{1} ， C C_{1}$ 的中点， $P$ 为棱 $C C_{1}$ 上的动点，则（）

A、平面 $A B_{1} F ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ B、点 $B_{1}$ 到平面 $B C D$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ C、 $D B_{1}$ 与 $D P$ 所成角的余弦值的取值范围为 $[\frac{1}{5} ， \frac{3}{5}]$ D、以 $F$ 为球心， $\frac{\sqrt{39}}{3}$ 为半径的球面与侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的交线长为 $\frac{4 \sqrt{3} π}{9}$

查看试题解析

三、､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

查看试题解析
14. 函数 $f (x) = l o g_{3} (x + \sqrt{x^{2} + 9}) - a (a \in R)$ 是奇函数，则 $f (4 a) =$ .

查看试题解析
15. 为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是.

查看试题解析
16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c ， 0)$ ，直线 $l ： x - 3 y + c = 0$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 3 | A F |$ ，则 $C$ 的离心率是.

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $c o s 2 B = 1 - 3 c o s B$ .

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{7} ， △ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

查看试题解析
18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{7} = 18 ， a_{5} + a_{8} = 24$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (- 1)^{n} a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ .

查看试题解析
19. 已知某地中学生的男生和女生的人数比例是 $3 ： 2$ ，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：

男生
女生
只喜欢羽毛球
0.3
0.3
只喜欢乒乓球
0.25
0.2
既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球
0.3
0.15

(1)、从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；

(2)、从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望.

查看试题解析
20. 如图，在圆锥 $S O$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，且 $△ S A B$ 是边长为4的等边三角形， $C ， D$ 为圆弧 $A B$ 的两个三等分点， $E$ 是 $S B$ 的中点.

(1)、证明： $D E$ $∥$ 平面 $S A C$ .

(2)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B D$ 所成锐二面角的余弦值.

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率是3，点 $P (4 ， \sqrt{3})$ 在 $C$ 上.

(1)、求 $C$ 的标准方程.

(2)、已知直线 $l$ 与 $C$ 相切，且与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，试问 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x - x^{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， m f (s i n α) + n f (c o s α) = t a n \frac{π}{6}$ ，证明： $m + n > \frac{3}{2}$ .

查看试题解析

	男生	女生
只喜欢羽毛球	0.3	0.3
只喜欢乒乓球	0.25	0.2
既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球	0.3	0.15