广东省广州市番禺区2023-2024学年高二（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-07 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若全集 $U = R$ ，集合 $A = {0，1 ， 2，3 ， 4，5}$ ， $B = {x | x \geq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0，1 ， 2}$ B、 ${3，4 ， 5}$ C、 ${0，1 ， 2，3}$ D、 ${4，5}$

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2. 若复数 $z = i (2 + i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $5$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 在下列条件中，一定能使空间中的四点 $M$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 共面的是（）

A、 $\vec{O M} = 2 \vec{O A} - \vec{O B} - \vec{O C}$ B、 $\vec{O M} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ C、 $\vec{O M} + \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ D、 $\vec{O M} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$

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4. 已知直线 $l$ 经过点 $P (0，1)$ ，且它的一个方向向量为 $(1，2)$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y - 2 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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5. 番禺图书馆新谊是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所 $.$ 在一段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为 $0.5$ ，乙前往图书馆新馆的频率为 $0.8$ ，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率是（）

A、 $0.9$ B、 $0.8$ C、 $0.5$ D、 $0.4$

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6. 设点 $F$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 的渐近线交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 均异于点 $O) .$ 若 $| A B | = | O F |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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7. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 在 $B D$ 上，点 $F$ 在 $C B_{1}$ 上，则 $E F$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 蜜蜂是母系社会生物 $.$ 蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的 $.$ 如图是某只雄蜂的家系图，规定：其“父母”为上溯第 $1$ 代祖辈，其“祖父母”为上溯第 $2$ 代祖辈，以此类推 $.$ 记 $F_{n}$ 表示该雄蜂上溯第 $n$ 代的祖辈数量，例如 $F_{1} = 1 .$ 那么，下列结论中正确的是（）

A、 $F_{7} + F_{9} > F_{10}$ B、 $F_{8} + F_{10} > 2 F_{9}$ C、 $F_{8} + F_{9} > F_{7} + F_{10}$ D、 $4 F_{5} + F_{9} > F_{10}$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{4} = 8$ ， $a_{12} = - 8$ ， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，则下列选项正确的是（）

A、 $d = - 2$ B、 $a_{8} = 0$ C、 $S_{15} = 54$ D、 $\frac{S_{3}}{3} > \frac{S_{4}}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} s i n 2 x - {c o s}^{2} x + \frac{1}{2} (x \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 为函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、函数 $f (x)$ 的最大值为 $1$

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11. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (2，0)$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} \cdot \vec{P A} = 0$ ， $Q$ 是直线 $x - \sqrt{3} y + 3 = 0$ 上的点，下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹是圆 B、 $| P Q |$ 的最大值为 $3$ C、 $| P Q |$ 的最小值为 $1$ D、 $∠ O Q A < 90 °$

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12. 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、以线段 $A B$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 B、 $| A B |$ 的最小值为 $4$ C、当 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ 时，直线 $l$ 的斜率为 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} = 2$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 等比数列{a_n}中，a₂=1，a₄=4，则a₆= ．

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14. 已知圆 $C$ ： $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，过点 $A (- 1，0)$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$ ，则 $| A B | =$ ．

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15. 在棱长为 $2$ 的正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A D} =$ ．

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16. 用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，然后将下半部分几何体的侧面展开 $.$ 若该平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为 $y = 1 + 2 c o s x$ ， $x \in [- π ， π]$ ，则该平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = \sqrt{3} b$ ， $c = 8$ ．

(1)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，求 $B$ 的值；、

(2)、若 $C = \frac{π}{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了 $100$ 位客户进行调查、经统计，这 $100$ 位客户去年到该超市消费金额 $($ 单位：万元 $)$ 均在区间 $[0.2，1.4]$ 内，按 $[0.2，0.4]$ ， $(0.4，0.6]$ ， $(0.6，0.8]$ ， $(0.8，1.0]$ ， $(1.0，1.2]$ ， $(1.2，1.4]$ 分成 $6$ 组，其频率分布直方图如图所示．

(1)、求该频率分布直方图中 $a$ 的值，并估计这 $100$ 位客户去年到该超市消费金额的平均数 $\bar{x}$ ； $($ 同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表 $)$

(2)、为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间 $(0.4，0.6]$ 和 $(0.6，0.8]$ 内的客户中，采用分层抽样的方法抽取 $5$ 人进行电话访谈，再从访谈的 $5$ 人中随机抽取 $2$ 人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有 $1$ 人来自区间 $(0.4，0.6]$ 的概率．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是一个首项为 $3$ ，公比为 $q (q \neq 1)$ 的等比数列，且 $3 a_{1}$ ， $2 a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $A_{1} B$ 上的一点，且 $A D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ A_{1} B$ ；

(2)、若 $A_{1} B = 4$ ， $A B = B C = 2$ ， $P$ 为 $A C$ 的中点，求平面 $A_{1} P B$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值．

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21. 已知两个定点 $A_{1} (- 2，0)$ ， $A_{2} (2，0)$ ，动点 $M$ 满足直线 $M A_{1}$ 与直线 $M A_{2}$ 的斜率之积为定值 $\frac{m}{4} (m < 0)$ ．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程，并说明随 $m$ 变化时，方程所表示的曲线 $C$ 的形状；

(2)、若 $m = - 1$ ，设不经过原点的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $E$ ， $F$ 两点，直线 $O E$ ， $1$ ， $O F$ 的斜率分别为 $k_{1} . k$ ， $k_{2} ($ 其中 $k > 0) .$ 若 $k_{1}$ ， $k$ ， $k_{2}$ 恰好构成等比数列，求 $k$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l g (10^{x} + a)$ ， $g (x) = f (x) - x$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $g (x)$ 的奇偶性并证明；

(3)、给定实数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，试判断是否存在直线 $x = x_{0}$ ，使得函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = x_{0}$ 对称？若存在，求出 $x_{0}$ 的值 $($ 用 $a$ 表示 $)$ ；若不存在，请说明理由．

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