广东省广州市番禺区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-07 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设函数 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 的定义域为 $A$ ，函数 $y = l n (1 - x)$ 的定义域为 $B$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1，2)$ B、 $(1，2]$ C、 $(- 2，1)$ D、 $[- 2，1)$

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2. 下列函数中，值域为 $[0 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \cos x$

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3. 已知角 $θ$ 的终边过点 $P (- 12，5)$ ，则（）

A、 $c o s θ = \frac{5}{13}$ B、 $s i n θ = - \frac{12}{13}$ C、 $t a n θ = - \frac{5}{12}$ D、 $t a n θ = - \frac{12}{5}$

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4. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 > 0$

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5. 若 $f (x) = x + 2^{x} + a$ 的零点所在的区间为 $(- 1，1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， \frac{3}{4})$ B、 $(- 3 ， \frac{7}{4})$ C、 $(- 3 ， \frac{1}{2})$ D、 $(0 ， \frac{5}{4})$

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6. 已知 $α$ 为锐角， $c o s α = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} ，$ 则 $s i n \frac{α}{2} =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

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7. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ，信道内信号的平均功率 $S$ ，信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至4000，则 $C$ 大约增加了（）附： $\lg 2 \approx 0.3010$

A、10% B、20% C、50% D、100%

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8. “ $α = k π + β$ ， $k \in Z$ ”是“ $t a n α = t a n β$ ”成立的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $a < b$ C、 $a + b < a b$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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10. 设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (\frac{1}{2})^{x} ， x < 2 \\ l o g_{2} (x - 1) ， x \geq 2 \end{array}$ ，若 $f (f (x)) = 1$ ，则 $x$ 取值可能是（）

A、 $9$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $- {l o g}_{2} 3$

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11. $1500$ 多年前祖冲之通过“割圆法”精确计算出圆周率在 $3.1415926 ～ 3.1415927$ 之间 $.$ 他的方法是：先画出一个直径为 $1$ 丈的圆，然后在圆内画出一个内接正六边形，接着再画出一个内接正十二边形，以此类推，一直画到内接正二万四千五百七十六边形，这样就可以得到圆的周长 $.$ 利用周长与半径之比，祖冲之得到了圆周率的近似值为 $3.1415927$ ；古希腊数学家阿基米德计算圆周率的方法是：利用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长来双侧逼近圆的周长 $.$ 已知正 $n$ 边形的边长为 $a$ ，其外接圆的半径为 $R$ ，内切圆的半径为 $r .$ 给出下列四个结论中，正确的是（）

A、 $R = \frac{a}{2 s i n \frac{π}{n}}$ B、 $r = \frac{a}{2} t a n \frac{π}{n}$
C、 $R + r = \frac{a}{2 t a n \frac{π}{n}}$ D、 $R - r = \frac{a}{2} t a n \frac{π}{2 n}$

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为：设用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如 $[- 3.4] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ，函数 $g (x) = [f (x)]$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 是增函数 B、 $g (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1，0}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. $t a n \frac{5 π}{4} =$ ．

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14. 已知常数 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ，假设无论 $a$ 为何值，函数 $y = {l o g}_{a} (x - 2) + 1$ 的图像恒经过一个定点，则这个定点的坐标是．

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15. 把函数 $y = f (x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = s i n (x - \frac{π}{4})$ 的图像，则函数 $y = f (x)$ 的解析式 $f (x) =$ ．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意实数 $x$ ， $y$ ，都有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (1) = 0$ ，直接写出 $f (x)$ 的所有零点为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x (x + 2)$ ．

(1)、画出函数 $f (x)$ 的图像，并写出 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求出 $f (x)$ 的解析式．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $s i n A = \frac{5}{13}$ ， $c o s B = \frac{3}{5}$ ，求 $s i n C$ 、 $c o s C$ 与 $t a n C$ 的值．

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19.

(1)、根据定义证明函数 $f (x) = {l o g}_{x} 6$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上是单调递减；

(2)、比较下列三个值的大小：
${l o g}_{0.2} 6$ ， ${l o g}_{0.3} 6$ ， ${l o g}_{4} 6 .$

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20. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 其中 $ω > 0$ ， $φ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，函数 $f (x)$ 最小正周期为 $π$ ；从条件 $①$ 、条件 $②$ 这两个条件中选择一个作为已知条件，求：
条件 $①$ ：函数 $f (x)$ 图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称；
条件 $②$ ：函数 $f (x)$ 图象关于 $x = \frac{π}{12}$ 对称．
注：如果选择条件 $①$ 和条件 $②$ 分别解答，按第一个解答计分．

(1)、 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的最大值和最小值．

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21. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 $2$ 米的无盖长方体沉淀箱 $.$ 设箱体的长度为 $a$ 米，高度为 $b$ 米 $.$ 现有制箱材料 $60$ 平方米 $.$ 问当 $a$ ， $b$ 各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 4 (m \in R)$ ， $g (x) = l o g_{2} (2^{x} + 1)$ ．

(1)、若对任意 $x \in [1，2]$ ，不等式 $g (0) > f (x)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [1，2]$ ，存在 $x_{2} \in [{l o g}_{2} 3 ， {l o g}_{2} 7]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围．

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