广东省深圳市光明区2023-2024学年高二上学期期末学业水平调研测试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：期末考试

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $A (- 1，0)$ ， $B (2 ， \sqrt{3})$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知椭圆方程为 $2 x^{2} + y^{2} = 16$ ，则该椭圆的短轴长为（）

A、 $4$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知空间中两条不同的直线 $m$ ， $n$ ，其方向向量分别为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则“ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线”是“直线 $m$ ， $n$ 平行”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 m x + m^{2} - 36 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有且仅有一条公切线，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 2 \sqrt{2}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $\pm 2 \sqrt{3}$ D、 $\pm 2$

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5. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点，则点 $B$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} + a_{11} = 20$ ，则 $S_{17} =$ （）

A、 $150$ B、 $120$ C、 $75$ D、 $68$

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7. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，与 $x$ 轴平行的直线与 $l$ 和 $C$ 分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若直线 $B F$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $4$ B、 $2 \sqrt{2}$ 或 $4$ C、 $4$ 或 $\frac{4}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知直线 $l$ 过双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左焦点 $F$ ，且与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $O$ 为坐标原点， $P$ 为 $A B$ 的中点，若 $△ O F P$ 是以 $F P$ 为底边的等腰三角形，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{13}}{3}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列命题说法正确的有（）

A、已知直线 $l_{1}$ ： $m x + 2 y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $5 x + (m + 3) y - 5 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m = 2$ 或 $m = - 5$
B、点 $(5，0)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点的坐标为 $(- 1，6)$
C、直线 $k x + (k + 1) y - 3 k - 1 = 0$ 过定点 $(2，1)$
D、过点 $P (1，2)$ 且在 $x$ 轴， $y$ 轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$

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10. 如图所示，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} C_{1} ∩ B_{1} D_{1} = O_{1}$ ，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都为2，且 $∠ B A D = ∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60 °$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| B D_{1} | = 2 \sqrt{2}$ B、 $\vec{D O_{1}} \cdot \vec{B_{1} C} = - \frac{3}{2}$ C、 $C O_{1} / /$ 平面 $A_{1} B D$ D、 $A C_{1} ⊥ B D$

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11. 对于正项数列 ${a_{n}}$ ，定义 $G_{n} = \frac{a_{1} + 3 a_{2} + 9 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 3^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的“匀称值”.已知数列 ${a_{n}}$ 的“匀称值”为 $G_{n} = 3^{n}$ ， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列关于数列 ${a_{n}}$ 的描述正确的有（）

A、数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 B、数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 C、 $\frac{S_{2023}}{2023} = 2024$ D、记 $b_{n} = {(\frac{3}{4})}^{n} a_{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的最大项为 $b_{3}$

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12. 已知点 $M (- 1，0)$ 在抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线上，过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 交 $C$ 于 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则（）

A、抛物线 $C$ 的方程是 $y^{2} = 4 x$ B、 $y_{1} y_{2} = - 4$
C、当 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ 时， $| A B | = 9$ D、 $∠ A M F = ∠ B M F$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{25} = 1$ 的渐近线方程为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = n$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ ．

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15. 已知平面内的动点 $P$ 到两定点 $A (2，0)$ ， $B (4，0)$ 的距离分别为 $| P A |$ 和 $| P B |$ ，且 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 到直线 $3 x - 4 y + 6 = 0$ 的距离 $d$ 的取值范围为．

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16. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为 $2 c$ ，点 $Q (c ， \frac{a}{2})$ 在椭圆的内部，椭圆上存在点 $P$ 使得 $| P F_{1} | + | P Q | < \frac{3}{2} | F_{1} F_{2} |$ 成立，则椭圆的离心率的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面边长为2，高为4.

(1)、证明：平面 $A C D_{1} ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值.

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18. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (5，1)$ ， $A B$ 边上的中线 $C M$ 所在直线方程 $2 x - y - 5 = 0$ ， $A C$ 边上的高为 $B H$ ，垂足 $H (\frac{27}{5} ， \frac{1}{5})$ ．

(1)、求顶点 $C$ 的坐标；

(2)、求直线 $B C$ 的方程．

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19. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，满足 $3 S_{5} = 5 S_{3} + 15$ ，求公差 $d$ ；

(2)、已知 $a_{n} > 0$ ， $a_{2} = 3 a_{1}$ ，且数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列，证明： ${a_{n}}$ 是等差数列．

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20. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上且与 $x$ 轴相切，圆 $C$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 截得的弦长为 $4$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、从圆 $C$ 外一点 $P$ 向圆 $C$ 引一条切线，切点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点，且 $| P M | = | P O |$ ，求 $| P M |$ 的最小值．

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21. 在如图所示的多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形，在梯形 $A B E F$ 中， $A F / / B E$ ， $A F ⊥ A B$ ， $A B = B E = 2 A F = 2$ ，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $B D ⊥ C F$ ；

(2)、若直线 $B C$ 与平面 $A C F$ 所成的角为60°， $M$ 为棱 $B E$ 上一点（不含端点），试探究 $B E$ 上是否存在一点 $M$ ，使得平面 $A C F$ 与平面 $C F M$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ ？若存在，求出 $B M$ 的长；若不存在，请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(- \sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，过其右焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若矩形 $M N P Q$ 各边均与椭圆 $C$ 相切，
$①$ 证明：矩形 $M N P Q$ 的对角线长为定值；
$②$ 求矩形 $M N P Q$ 周长的最大值

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