广东省广州市重点中学2023-2024学年高三上学期第一次调研数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：高考模拟

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一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 1}{x + 2} < 0}$ ， $B = {x | 3^{x} > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > - 2}$ B、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 0}$ C、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 1}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

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2. $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $\bar{z} (2 - 4 i) = - 10 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3. 已知两单位向量 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则向量 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $2 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ 的夹角 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4. 在锐角 $△ A B C$ 中，若 $B = 2 A$ ，则 $\frac{s i n B}{s i n A}$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ B、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$

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5. 数列 ${F_{n}} ： 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， . . . ，$ 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数 ${F_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{2019} = F_{2021} + 2$ B、 $S_{2019} = F_{2021} - 1$ C、 $S_{2019} = F_{2020} + 2$ D、 $S_{2019} = F_{2020} - 1$

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6. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率 $f$ （单位：心跳次数 $\cdot m i n^{- 1}$ ）与体重 $W$ （单位： $k g$ ）的 $\frac{1}{3}$ 次方成反比.若 $A$ 、 $B$ 为两个睡眠中的恒温动物， $A$ 的体重为 $2 k g$ 、脉搏率为210次 $\cdot m i n^{- 1}$ ， $B$ 的脉搏率是70次 $\cdot m i n^{- 1}$ ，则 $B$ 的体重为（）

A、 $6 k g$ B、 $8 k g$ C、 $18 k g$ D、 $54 k g$

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7. 已知正三棱锥 $S - A B C$ 的底面边长为 $\sqrt{2}$ ，外接球表面积为 $3 π$ ， $S A < \sqrt{2}$ ，点M ， N分别是线段AB ， AC的中点，点P ， Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则 $A P + P Q$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 点 $A (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} > 1 ， y_{0} < 0) ， B ， C$ 均在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，若直线 $A B ， A C$ 分别经过两定点 $(- 1 ， 0) ， M (1 ， 4)$ ，则 $B C$ 经过定点 $N$ ，直线 $B C ， M N$ 分别交 $x$ 轴于 $D ， E$ ， $O$ 为原点，记 $| O D | = a ， | D E | = b$ ，则 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 3}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每题在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x - c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，则关于 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、最小正周期为 $2 π$ B、偶函数 C、在 $(\frac{9}{4} π ， \frac{5}{2} π)$ 上单调递减 D、关于 $(\frac{2 k - 1}{8} π ， 0) (k \in Z)$ 中心对称

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10. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 $A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ，它的两个锐角的顶点A和B分别在x正半轴、y正半轴上滑动，则下列结论正确的是（　　）

A、点C在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上 B、点C在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上 C、点C的轨迹长度等于 $A C$ D、点C的轨迹长度等于 $B C$

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11. 投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p ，记 $A_{n}$ 表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{2}$ 与 $\bar{A_{2}}$ 是互斥事件 B、 $P (A_{2}) = p^{2}$ C、 $P (A_{n + 1}) = (1 - 2 p) P (A_{n}) + p$ D、 $P (A_{2 n}) > P (A_{2 n + 2})$

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12. 设函数 $f (x) = x l n x + (1 - x) l n (1 - x)$ ，则（）

A、 $f (x) = f (1 - x)$ B、函数 $f (x)$ 有最大值 $- l n 2$ C、若 $x_{1} + x_{2} = 1$ ，则 $x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1}) \geq - l n 2$ D、若 $x_{1} + x_{2} < 1$ ，且 $\frac{1}{2} < x_{2} < 1$ ，则 $f (x_{2}) < f (x_{1})$

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三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13. 在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{3}{x})}^{n}$ 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{3}{2}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $2 a_{n + 1} = a_{n + 1} S_{n} + {S_{n}}^{2}$ ，则 $S_{n} =$ .

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，P点是直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 上一动点，当P点的纵坐标为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} a$ 时， $∠ F_{1} P F_{2}$ 最大，则椭圆C的离心率为．

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16. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，若 $f (x) = f (- x) - 2 s i n x$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) > - c o s x$ ，则不等式 $f (x + \frac{π}{2}) > f (x) + s i n x - c o s x$ 的解集为．

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四、解答题（本大题6小题，共70分）

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = 2$ ， $s i n (C - \frac{π}{6}) = c o s C$ .

(1)、求 $\frac{a}{s i n A}$ 的值；

(2)、若 $a + b = a b$ ，求 $Δ A B C$ 的面积 $S_{Δ A B C}$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = 1$ ， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ， $T_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n}$ ， $\sqrt{T_{n}}$ ， $a_{n + 1}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{{(- 1)}^{n} (b_{n} + 1) + 1}{2 S_{n}}}$ 前 $n$ 项的和 $U_{n}$ ．

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19. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 2$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，得到四面体 $P B C D$ ．

(1)、若 $B D = P C = 4$ ，作出二面角 $P - B C - D$ 的平面角，说明作图理由并求其大小；

(2)、若 $P C = 2 \sqrt{5} ， ∠ A = 60 °$ ，求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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20. 某电商专门生产某种电子元件，生产的电子元件除编号外，其余外观完全相同，为了检测元件是否合格，质检员设计了图甲、乙两种电路.

(1)、在设备调试初期，已知该电商试生产了一批电子元件共5个，只有2个合格，质检员从这批元件中随机抽取2个安装在甲图电路中的 $A$ ， $B$ 处，请用集合的形式写出试验的样本空间，并求小灯泡发亮的概率；

(2)、通过设备调试和技术升级后，已知该电商生产的电子元件合格率为0.9，且在生产过程中每个电子元件是否合格互不影响，质检员从该电商生产的一批电子元件中随机抽取3个安装在乙图电路中的 $A$ ， $B$ ， $C$ 处，求小灯泡发亮的概率.

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21. 已知双曲线 $C$ 的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{2} x$ .且 $M$ ， $N$ 分别是双曲线的左、右顶点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $G (4 ， 0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C$ 右支于 $A$ ， $B$ 两点，若直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
①试探究 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 的比值 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
②设 $∠ A N G = α$ ， $∠ B N G = β$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ，若 $t a n θ = \frac{1}{7}$ ， $α = β - θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ），求 $△ B G N$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - m} - \frac{l n x}{x}$ （ $m \in R$ ）.

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与x轴相切，求证： $1 + l n 2 < m < 2 + l n 6$ .

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