广东省广东实验2023-2024学年高三上学期1月第二次调研数学试卷

试卷更新日期：2024-03-07 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合 $A = {1} ， B = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ，则 $A \cup B$ 的子集个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} + 2 = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则有（）

A、 ${a_{n}}$ 为等差数列 B、 ${a_{n}}$ 为等比数列 C、 ${S_{n}}$ 为等差数列 D、 ${S_{n}}$ 为等比数列

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3. 已知 $s i n α > 0$ ， $c o s α < 0$ ，则 $\frac{α}{3}$ 的终边在（）

A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、三、四象限 D、第一、二、四象限

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，满足条件 $\vec{A D} = \vec{D B} ， \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E C}$ ，若 $\vec{D E} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} =$ （）

A、8 B、4 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 若 $a \in R$ ， z为纯虚数，且 $2 + (a - 1) i = (2 a + z) i$ ，则|a+z|（）

A、 $\frac{\sqrt{37}}{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、5 D、3

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6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率 $v$ 与时间 $t$ （月）近似地满足关系 $v = a \cdot b^{t}$ （其中a ， b ，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为 $5 %$ ，经过12个月，这种垃圾的分解率为 $10 %$ ，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ）

A、20 B、28 C、32 D、40

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7. 已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，经过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ ， $△ A B F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $I$ ，若 $3 \vec{I B} + 4 \vec{I A} + 5 \vec{I F_{2}} = \vec{0}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 亚洲奥林匹克理事会宣布，原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．为了加大宣传力度，杭州某社区进行了以“中国特色、浙江风采、杭州韵味”为主题的知识竞赛，现随机抽取30名选手，其得分如图所示．设得分的中位数为 $m$ ，众数为 $n$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，则（）

A、 $m = 5$ B、 $n = 5$ C、 $m > \bar{x}$ D、 $n < \bar{x}$

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10. 下列说法不正确的是（）

A、存在 $x \in R$ ，使得 $1 - c o s^{3} x = l o g_{2} \frac{1}{10}$ B、函数 $y = s i n 2 x c o s 2 x$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $y = c o s 2 (x + \frac{π}{3})$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ D、若角 $α$ 的终边经过点 $(c o s (- 3) ， s i n (- 3))$ ，则角 $α$ 是第三象限角

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11. 如图，抛物线 $C$ ： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，过 $A ， B$ 分别作 $C$ 的准线的垂线，垂足分别为 $P$ ， $Q$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $| A B | = 10$ ，则直线 $A B$ 的方程为 $x - 2 y - 2 = 0$ 或 $x + 2 y - 2 = 0$ B、 $P F ⊥ Q F$ C、以线段 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 D、 ${| P Q |}^{2} = 4 | A F | | B F |$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为R ，若 $f^{'} (2) = 8$ ，函数 $f (2 x + 1)$ 和 $f^{'} (x + 2)$ 均为偶函数，则（）

A、函数 $f^{'} (x)$ 是周期为5的周期函数 B、函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称 C、 $\sum_{i = 1}^{2023} f^{'} (i) = 8$ D、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知二项式 $(1 - a x)^{n}$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数 $a$ 的值为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $1$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 3^{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{8} =$ .

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15. 在空间直角坐标系中，定义点 $A (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ 和点 $B (x_{2} ， y_{2} ， z_{2})$ 两点之间的“直角距离” $d_{(A ， B)} = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} | + | z_{1} - z_{2} |$ ．若 $A$ 和 $B$ 两点之间的距离是 $\sqrt{3}$ ，则 $A$ 和 $B$ 两点之间的“直角距离”的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = s i n x + e^{x} - 2 (x < 0)$ 与 $g (x) = s i n x + \frac{1}{x - m}$ 的图象上存在关于原点对称的点，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 6 \cdot 2^{n} ， a_{1} = 4$ .

(1)、证明数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 为等差数列，并求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 在① $(2 - s i n A) c o s B - 1 = c o s A s i n B - 2 c o s B s i n C$ ；② $(2 a - c) c o s B = b c o s C$ 两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且____．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{B C}$ ，且线段 $A D = 3$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形，且 $A B / / C D ， A B ⊥ A D ， P A = A B = 2 ， A D = D C = 1 ， E$ 为 $P B$ 上一点．

(1)、若 $E$ 为 $P B$ 中点，求证： $C E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若点 $E$ 不与 $P$ 和 $B$ 重合，且二面角 $E - A C - P$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $A E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值．

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20. 已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，记 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上下顶点为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，且 $△ F_{1} B_{1} B_{2}$ 是边长为2的等边三角形.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $Q (0 ， 2)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} > 0$ ，求直线 $M N$ 斜率范围.

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21. 已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者 $a ， b ， c ， d$ 将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．

(1)、求 $a ， b ， c$ 三人均被分至同一队的概率；

(2)、记甲，乙两队的最终人数分别为 $n_{1}$ ， $n_{2}$ ，设随机变量 $X = | n_{1} - n_{2} |$ ，求 $E (X)$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a x^{2}}{1 + x}$ 有3个极值点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > - 2$ ．

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