广东省汕头市金山中学2024届高三上学期1月第二次调研数学试卷

试卷更新日期：2024-03-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | l o g_{3} x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i)^{2} = 2 + 4 i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $△ A B C$ 的面积为24，平面 $A B C$ 中的点 $D ， E ， F$ 分别满足 $\vec{A D} = \vec{D B}$ ， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ， $\vec{C F} = \frac{1}{3} \vec{F A}$ ，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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4. “ $y = t a n (ω x + φ)$ 的最小正周期为 $π$ ”是“ $ω = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知数列 ${a_{n}} ， a_{1} = 1 ， a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n}$ ，则 $a_{10}$ 等于（）

A、511 B、1022 C、1023 D、2047

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6. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过 $0.1 %$ .经测定，刚下课时，空气中含有 $0.2 %$ 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 $y %$ ，且 $y$ 随时间 $t$ （单位：分钟）的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{11}}$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据： $l n 3 \approx 1.1$ ）（）

A、11分钟 B、13分钟 C、15分钟 D、17分钟

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7. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ∥ C D ， ∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $A B = 2 ， B C = 2 \sqrt{3}$ .若 $P A = P D ， P C = P B$ ，且三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $20 π$ ，则当四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最大时， $C D$ 长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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8. 已知点 $A$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的上顶点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆左右焦点，直线 $y = a x + b (a > 0)$ 将三角形 $A F_{1} F_{2}$ 分割为面积相等两部分，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{3}]$ D、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 下列结论正确的有（）

A、相关系数 $| r |$ 越接近1，变量 $x$ ， $y$ 相关性越强 B、若随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $η = 2 ξ + 1$ ，则 $D (η) = 2 D (ξ)) + 1$ C、相关指数 $R^{2}$ 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D、设随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{5}{16}$

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10. 亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{11}{12} π$ 对称，则下列选项正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、若将函数 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 $\frac{5 π}{12}$

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11. 如图，过抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点，弦 $A B$ 的中点为 $M$ ，过 $A ， B ， M$ 分别作准线 $l_{1}$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1} ， B_{1} ， N$ ，则下列说法正确的是（）

A、以 $A B$ 为直径的圆与 $l_{1}$ 相切 B、 $N F ⊥ A B$ C、 $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{| N F |^{2}}{4} + \frac{16}{| A B |}$ 的最小值为4

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12. 已知函数 $f (x) = x - t a n x$ ， $x \in {x | 0 < x < \frac{5 π}{2}$ ， $x \neq \frac{π}{2}$ 且 $x \neq \frac{3 π}{2}}$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $t a n x > x$ B、 $x_{2} + x_{1} < 3 π$ C、若 $x_{2} > x_{1}$ ，则 $x_{2} - x_{1} > π$ D、 $x_{1} s i n x_{2} + x_{2} s i n x_{1} < 0$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - 2 x)^{4}$ 的展开式中常数项为.

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n}{2 n + 5}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ .

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15. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为 $3 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为．

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16. 已知实数 $λ$ ， $k$ 分别满足 $λ e^{λ} = e^{2}$ ， $k (l n k - 1) = e^{3}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则 $λ k =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差 $d$ 不为零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列，且 $S_{4} = 20$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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18. 在① $\sqrt{3} (a - b c o s C) = c s i n B$ ， ② $S_{△ A B C} = \vec{B A} \cdot \vec{B C} \cdot s i n B$ ， ③ $c o s^{2} A - c o s^{2} B = s i n^{2} C - s i n A s i n C$ 三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， ____，且 $b = 2$ .求：

(1)、 $B$ ；

(2)、 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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19. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ （如图1），将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起到 $△ A C D_{1}$ 的位置，使得点 $D_{1}$ 在平面 $△ A B C$ 上的射影 $E$ 在 $A B$ 边上，连结 $B D_{1}$ （如图2）．

(1)、证明： $A D_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、过直线 $D_{1} E$ 的平面 $α$ 与 $B C$ 平行，求平面 $α$ 与平面 $A C D_{1}$ 夹角的余弦值．

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20. 从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）
甲：5 6.3 9.5 9.2 6 乙：7.2 7.3 6.6 7 7.9

(1)、参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；

(2)、现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．

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21. 在平面直角坐标系中，已知点 $A_{1} (- 2 ， 0) ， A_{2} (2 ， 0)$ ，直线 $A_{1} Q$ 与 $A_{2} Q$ 的斜率之积为 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、求点 $Q$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过 $P (\sqrt{3} ， 0)$ 的直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $M ， N$ 两点，直线 $A_{1} M$ 与直线 $A_{2} N$ 交于点 $E$ ，求证： $\vec{O P} \cdot \vec{P E}$ 为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - m l n x - m$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $m = 1$ ，设关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq x l n x - \frac{1}{x} - k x + n$ 对 $\forall x \in [1 ， e]$ 恒成立时 $k$ 的最大值为 $c (k \in R ， n \in [1 ， e])$ ，求 $c$ 的取值范围．

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