广西柳州市名校2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1. 图中的阴影部分表示的集合为（）

A、 $A \cap B \cap C$ B、 $A \cap B \cap (∁_{U} C)$ C、 $A \cap (∁_{U} B) \cap C$ D、 $(∁_{U} A) \cap B \cap C$

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2. 已知复数 $z = 3 - i + (1 + a i)^{2} (a \in R)$ 在复平面内对应的点在实轴上，则 $| z |$ 的值是（）

A、4 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{17}{4}$ D、 $\frac{15}{4}$

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3. 设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，给出的下列命题中，正确命题的序号是（）
①若 $m ⊥ α ， n$ $∥$ $α$ ，则 $m ⊥ n$ .②若 $m ⊥ n ， n$ $∥$ $α$ ，则 $m ⊥ α$ .③若 $m ⊥ α ， α$ $∥$ $β$ ，则 $m ⊥ β$ .④若 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ .

A、①③④ B、②③④ C、①②④ D、①②③

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4. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 在线段 $B C$ 上（不包括端点），向量 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C} ， \frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + 2$ C、 $2 \sqrt{3} + 2$ D、 $2 \sqrt{2} + 3$

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5. “ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 $L = L_{0} D^{\frac{G}{G_{0}}}$ ，其中 $L$ 表示每一轮优化时使用的学习率， $L_{0}$ 表示初始学习率， $D$ 表示衰减系数， $G$ 表示训练迭代轮数， $G_{0}$ 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18.且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3)$

A、75 B、74 C、73 D、72

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6. 奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减， $f (1) = 0$ ，则不等式 $\frac{2 f (- x) + f (x)}{x} ⩾ 0$ 的解集为（）

A、 $(- ∞ ， - 1] \cup [1 ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， - 1] \cup (0 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 0) \cup [1 ， + ∞)$ D、 $[- 1 ， 0) \cup (0 ， 1]$

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7. 嫦娥奔月是中华民族的千年梦想，2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以 $v k m / s$ 的速度进入距离月球表面 $n k m$ 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为 $t s$ ，已知远月点到月球表面的最近距离为 $m k m$ ，则（）

A、圆形轨道的周长为 $(2 π v t) k m$ B、月球半径为 $(\frac{v t}{2 π} n) k m$ C、近月点与远月点的距离为 $(m - n + \frac{ν t}{π}) k m$ D、椭圆轨道的离心率为 $\frac{m - n}{m + n}$

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8. 一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为 $6 0^{∘}$ .在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、 $5 \sqrt{3}$ D、10

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二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的或未作答的得0分.

9. 下列说法正确的有（）

A、直线 $l ： (m + 1) x + (m - 1) y - 2 m = 0$ 恒过定点 $(1 ， 1)$ B、方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - m = 0$ 表示圆 C、圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 与圆 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4$ 有两条公切线 D、圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上有且只有三点到直线 $l ： x - y + 2 \sqrt{2} = 0$ 的距离等于2

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6})$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (α + \frac{π}{3}) = - c o s α$ B、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、将 $f (2 x)$ 图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 图象 D、若 $f (α) = \frac{3}{5} ， \frac{π}{3} < α < \frac{5 π}{6}$ ，则 $s i n α = \frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$

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11. 如果方程 $\frac{x^{2}}{4} + y | y | = 1$ 所对应的曲线与函数 $y = f (x)$ 的图象完全重合，则如下结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是偶函数 B、 $y = f (x)$ 的图象上的点到点 $Q (0 ， - 2)$ 距离的最小值为3 C、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- ∞ ， 1]$ D、若函数 $F (x) = f (x) + a x$ 有且只有一个零点，则 $| a | > \frac{1}{2}$

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12. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{2023} < S_{2024} < S_{2022}$ ，设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{2023} < 0$ B、使得 $S_{n} < 0$ 成立的最大的 $n$ 值为4045 C、 $a_{2022} \cdot a_{2023} > a_{2024} \cdot a_{2025}$ D、当 $n = 2023$ 时， $T_{n}$ 取得最小值

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $f (x) = x^{2} + 2 x f^{^{'}} (- \frac{1}{3})$ ，则曲线 $f (x)$ 在点 $x = - \frac{1}{3}$ 处的切线方程为.

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14. 已知实数a、b、c、d成等差数列，且函数 $y = l n (x + 2) - x$ 在 $x = b$ 时取到极大值 $c$ ，则 $a + d =$ .

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15. 已知 $(a x - 2) {(x + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中的常数项为240，则展开式中 $x^{4}$ 项的系数为.

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16. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于 $A ､ B$ 两点，记 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆的半径为 $r_{1} ， △ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆的半径为 $r_{2} ， r_{1} r_{2} ⩽ 16 a^{2}$ ，则双曲线的离心率的取值范围为.

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四、解答题：第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.

17. 在公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中，前五项和 $S_{5} = 5$ ，且 $a_{3} ， a_{4} ， a_{7}$ 依次成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 满足 $2 T_{n} + b_{n} - 1 = 0 (n \in N^{*})$ ，

(1)、求 $a_{n}$ 及 $b_{n}$ ；

(2)、设数列 ${a_{n + 1} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $A_{n}$ ，求 $A_{n}$

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘} ， A B = \sqrt{3} ， B C = 1 ， P$ 为 $△ A B C$ 内一点， $∠ B P C = 9 0^{∘}$ ，

(1)、若 $P C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $P A$ ；

(2)、若 $∠ A P B = 12 0^{∘}$ ，求 $△ A B P$ 的面积 $S$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $D C ， E$ 为 $P D$ 的中点，且满足 $A E$ $∥$ 平面 $P B C$ ，

(1)、证明： $D C = 2 A B$ ；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A B ⊥ A D ， A P = A B = A D = 2$ ，点 $M$ 在四棱锥 $P - A B C D$ 的底面内，且在以 $A ､ B$ 为焦点，并满足 $M A + M B = 4$ 的椭圆弧上.若二面角 $M - P B - A$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，求直线 $P M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{6}$ ，且其离心率小于 $\frac{\sqrt{2}}{2} ， P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $F_{1} ､ F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左､右焦点， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ ，

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、 $A ､ B$ 为椭圆 $C$ 的上､下顶点，过点 $D (0 ， - 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，过点 $D$ 且与 $A M$ 平行的直线与直线 $y = - 3$ 的交点为 $Q$ ，设直线 $B Q ､ B N$ 所成角为 $θ$ ，求 $t a n θ$ 的最大值.

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21. 假设 $L$ 市四月的天气情况有晴天､雨天､阴天三种，第二天的天气情况只取决于前一天的天气情况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则第二天下雨的概率为 $\frac{1}{4}$ ､阴天的概率为 $\frac{1}{4}$ ；若前一天为下雨，则第二天晴天的概率为 $\frac{1}{4}$ ､阴天的概率为 $\frac{3}{8}$ ；若前一天为阴天，则第二天晴天的概率为 $\frac{1}{4}$ ､下雨的概率为 $\frac{1}{3}$ ；已知 $L$ 市4月第1天的天气情况为下雨.

(1)、求 $L$ 市4月第3天的天气情况为晴天的概率；

(2)、记 $a_{n}$ 为 $L$ 市四月第 $n (n \in N_{+} ， n ⩽ 30)$ 天的天气情况为晴天的概率，
（i）求出 $a_{n}$ 的通项公式；
（ii） $L$ 市某花卉种植基地计划在四月根据天气情况种植向日葵，为了更好地促进向日葵种子的发芽和生长，要求提前3天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.如果你是该花卉种植基地的气象顾问，根据上述计算结果，请你对该基地的种植计划提出建议.

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22. 已知函数 $f (x) = - 2 l n x - \frac{a}{x^{2}} + 1$ ，

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围，并证明： $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} > \frac{2}{a}$ .

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