广西百色市平果市2023-2024学年高三上学期1月数学摸底考试预测卷1

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {x ‖ x - 2 | < 1} ， B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ .则 $A ∩ B =$

A、 ${x | 1 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 < x < 3}$ C、 ${x | - 1 < x < 2}$ D、 ${x | x > 3}$

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2. 设复数 $z_{1} = 1 - i ， z_{2} = \frac{2 + 4 i}{1 + i}$ ，且在复平面上对应的点分别为 $Z_{1} 、 Z_{2}$ ，则 $| Z_{1} Z_{2} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知 $x$ 是实数，那么“ $x \leq 1$ ”是“ $\frac{1}{x} \geq 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知角 $θ$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边在直线 $y = 3 x$ 上，则 $c o s 2 θ$ =（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知 $△ A B C$ 外接圆圆心为 $O$ ，半径为 $1$ ， $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，且 $\sqrt{3} | \vec{O A} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$

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6. 若函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} - 3 b x + 3 b$ 在 $(0 ， 1)$ 上存在极小值点，则实数 $b$ 的取值范围是

A、 $(- 1 ， 0]$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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7. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， O为坐标原点，过 $F_{1}$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且 $| M F_{2} | = 3 | O M |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，对任意的实数 $x$ ，都有 $f^{'} (x) + 1 < 0$ ，且 $f (1) = - 1$ ，则（）

A、 $f (0) < 0$ B、 $f (e) < - e$ C、 $f (e) > f (0)$ D、 $f (2) > f (1)$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知一组数据： $12 ， 31 ， 24 ， 33 ， 22 ， 35 ， 45 ， 25 ， 16$ ，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）

A、中位数不变 B、平均数不变 C、方差不变 D、第40百分位数不变

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10. 已知实数 $a ， b \in R_{+}$ ，且 $2 a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、ab的最小值为 $\frac{1}{8}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为6 D、 $\frac{b - 1}{a - 1} \in (0 ， 2)$

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11. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象所示，则（）

A、该函数的解析式为 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、该函数的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{6}$ C、该函数的单调递减区间是 $[k π + \frac{π}{12} ， k π + \frac{7 π}{12}]$ ， $k \in Z$ D、把函数 $g (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $2$ 倍，纵坐标不变，可得函数 $f (x)$ 的图象.

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12. 在棱长为 $\sqrt{3}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 内 $($ 含边界 $)$ 运动，则下列结论正确的是（）．

A、若点P在 $A D_{1}$ 上运动，则 $P B ⊥ A_{1} D$ B、若 $P B / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ，则点P在 $A_{1} D$ 上运动 C、存在点P，使得平面PBD截该正方体的截面是五边形 D、若 $P A = 2 P D$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最大值为1

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前9项的和为27， $a_{6} = 4$ ，则 $a_{10} =$ ．

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14. 某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，则最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不连续播放的概率是.

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15. 已知圆 $C ： (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 1$ ，从坐标原点O向圆C作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ，则 $| a - b + 3 |$ 的取值范围是．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = l o g_{2} (x + 1)$ .则函数 $f (x)$ 的解析式为；若存在 $x \in (1 ， 2)$ ，使得不等式 $f (- x^{2} + x + m) + f (2 x^{2} - 2 m x) > 0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知 ▲ .
（在以下这两个条件中任选一个填入上方的横线上作为已知条件，并解答下面两个问题，如果选择多个条件解答，按第一个解答计分）
① $b s i n A = \sqrt{3} a c o s B$ ；② $a c o s C + c c o s A = 2 b c o s B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 3$ ， $S_{4} = a_{4} + a_{6}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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19. 某省参加2021年普通高考统考报名的所有考生均可选考英语口试科目，考生自愿参加，不作为统一要求.考生卷面成绩采用百分制.某市从参加高三英语口语考试的1000名学生中随机抽取100名学生，将其英语口试成绩（均为整数）分成六组 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ … $[90 ， 100]$ 后得到如下部分频率分布直方图，已知第二组 $[50 ， 60)$ 与第三组 $[60 ， 70)$ 的频数之和等于第四组 $[70 ， 80)$ 的频数.

(1)、求频率分布直方图中未画出矩形的总面积；

(2)、预估该市本次参加高三英语口语考试的1000名学生中成绩处于 $[60 ， 70)$ 的人数；

(3)、用分层抽样的方法在高分（不低于80分）段的学生中抽取一个容量为12的样本，将该样本看成一个总体，再从中任取3人，记这3人中成绩低于90分的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 如图，已知长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $D C$ 的中点.将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 折起，使得平面 $A D M ⊥$ 平面 $A B C M$ .

(1)、求证： $A D ⊥ B M$ ；

(2)、若点 $E$ 是线段 $D B$ 上的一动点，问点 $E$ 在何位置时，二面角 $E - A M - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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21. 已知点 $F (\sqrt{2} ， 0)$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点， $A$ ， $B$ 分别为椭圆的左､右顶点，椭圆上异于 $A$ ， $B$ 的任意一点 $P$ 与 $A$ ， $B$ 两点连线的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $(1 ， 0)$ 的两条弦 $P Q$ ， $M N$ 相互垂直，若 $\vec{P Q} = 2 \vec{P S}$ ， $\vec{M N} = 2 \vec{M T}$ ，求证：直线 $S T$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = x (t - l n x)$ ， $t \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $t = 1$ 时，设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为两个不相等的正数，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = a$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > a (2 - e) + e - \frac{1}{e}$ .

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广西百色市平果市2023-2024学年高三上学期1月数学摸底考试预测卷1

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。