贵州省毕节市金沙县重点中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试卷

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {1 ， 2 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 4}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{2 - x} + l g (x + 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， 2]$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[1 ， 2]$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 1 ， & x > 0 \\ 2^{x} ， & x ⩽ 0 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、-1 B、7 C、1 D、4

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4. 函数 $f (x) = \frac{3}{x} - l o g_{2} x$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 终边在直线 $y = x$ 上的角的集合是（）

A、 ${α ∣ α = \frac{π}{4} + 2 k π ， k \in Z}$ B、 ${α ∣ α = \frac{5 π}{4} + 2 k π ， k \in Z}$ C、 ${α ∣ α = \frac{3 π}{4} + k π ， k \in Z}$ D、 ${α ∣ α = \frac{π}{4} + k π ， k \in Z}$

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6. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}} ， b = l o g_{2} 3 ， c = l o g_{4} 7$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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7. 为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长 $20 %$ ，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（）（参考数据： $l g 1.2 \approx 0.079 ， l g 2.56 \approx 0.408$ ）

A、2023年 B、2024年 C、2025年 D、2026年

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8. 函数 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， + ∞)$ 单调递减，且为奇函数.若 $f (- 2) = 1$ ，则满足 $- 1 ⩽ f (x + 1) ⩽ 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $[0 ， 3]$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 $a ， b ， c ， d \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a - d > b - c$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b + 2023}{a + 2023} > \frac{b}{a}$

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10. 在同一直角坐标系中，函数 $y = x^{2} + a x + a - 3$ 与 $y = a^{x}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 下列函数既是偶函数，又在 $(- ∞ ， 0)$ 上是减函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ B、 $y = 3^{| x |}$ C、 $y = l g (x^{2} + 1)$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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12. 下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x) = l o g_{a} (x + 1) + l o g_{a} (x - 1) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数 B、函数 $f (x) = 2 a^{x - 2} - 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图像恒过定点 $(3 ， 1)$ C、函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 在 $R$ 上单调递增 D、函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 与函数 $y = - l o g_{2} x$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“ $\exists x \in R ， e^{x} - x - 3 > 0$ ”的否定是.

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14. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - m x + n ⩽ 0$ 的解集为 $[- 1 ， 4]$ ，则 $m + n =$ .

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15. 函数 $f (x) = l n (x^{2} + m x - 2)$ 在区间 $(1 ， + ∞)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为.

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16. 对于 $a ， b \in R$ ，定义运算“ $\otimes ” ： a \otimes b = {\begin{array}{l} a^{2} - a b ， & a ⩽ b \\ b^{2} - a b ， & a > b \end{array}$ ，设 $f (x) = (2 x - 1) \otimes (x - 1)$ ，且关于 $x$ 的方程 $f (x) = t (t \in R)$ 恰有三个互不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 计算：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{0.5} - 0.7 5^{2} + 6^{- 2} \times {(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $(l g 5)^{2} + 3 l g 2 + 2 l g 5 + l g 2 \times l g 5$ ．

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18. 已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- \sqrt{3} ， \sqrt{6})$ .

(1)、求 $s i n θ ， c o s θ ， t a n θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{1 - 2 c o s^{2} θ}{3 s i n θ c o s θ}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{m x + n}{x^{2} + 1}$ 是定义域为 $(- 1 ， 1)$ 的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$

(1)、求 $m ， n$ 的值，并用函数单调性的定义来判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、解不等式 $f (2 x + 1) + f (x) < 0$ .

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20. 某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度 $v$ （单位：千米/小时）和车流密度 $x$ （单位：辆/千米）所满足的关系式 $v = {\begin{array}{l} 60 ， 0 < x ⩽ 30 ， \\ 80 - \frac{k}{150 - x} ， 30 < x ⩽ 120 ， \end{array}$ （ $k$ 单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.

(1)、若车流密度为50辆/千米.求此时的车流速度；

(2)、若车流速度 $v$ 不小于40千米/小时.求车流密度 $x$ 的取值范围.

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21. 已知 $f (x) = 4^{x} + a \cdot 2^{x} + 3 ， (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 2 ， x \in [- 1 ， 1]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， + ∞) ， f (x) > - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = l g \frac{λ x + 1}{x}$ .

(1)、当 $λ = 2$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、设 $λ > 0$ ，当 $a \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 时，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [a ， a + 1]$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | ⩽ l g 2$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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