贵州省六盘水市水城区2023-2024学年高二上学期12月质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合 $A = {- 2 ， 4} ， B = {- 1 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 3}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 3 ， 4}$

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2. 在空间直角坐标系中，点 $B$ 是点 $A (2 ， 1 ， - 5)$ 在坐标平面 $O y z$ 内的射影，则 $B$ 的坐标为（）

A、 $(0 ， 1 ， - 5)$ B、 $(2 ， 0 ， - 5)$ C、 $(2 ， 1 ， 0)$ D、 $(2 ， - 1 ， - 5)$

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3. 直线 $2 \sqrt{3} x - 2 y - 7 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $15 0^{∘}$ B、 $3 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $6 0^{∘}$

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4. 若 $f (x) = x^{2} + (a - 7) x - 5$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、0 B、5 C、7 D、9

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5. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， + ∞)$ B、 $(1 ， 14) \cup (14 + ∞)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(1 ， 13) \cup (13 + ∞)$

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6. 已知直线 $x - y = 0$ 与圆 $M ： x^{2} + (y - 2)^{2} = 6$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 有编号互不相同的五个砝码，其中3克､1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过点 $P (1 ， m)$ ，斜率为 $\frac{3}{5}$ 的直线 $l$ 与 $M$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $P$ 为 $A B$ 的中点，则 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $M ： \frac{y^{2}}{8} + \frac{x^{2}}{6} = 1$ 的上､下焦点，点 $P$ 在椭圆 $M$ 上，则（）

A、 $M$ 的长轴长为 $4 \sqrt{2}$ B、 $M$ 的短轴长为 $2 \sqrt{6}$ C、 $F_{1}$ 的坐标为 $(- \sqrt{2} ， 0)$ D、 $| P F_{2} |$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (m ， n ， 2) ， \vec{b} = (2 ， - 2 ， 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $m = 4 ， n = - 4$ . B、若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $m = - 4 ， n = 4$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m - n + 1 = 0$ D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $n - m + 1 = 0$

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11. 若函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{8})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $g (x)$ 是奇函数 C、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3 π}{16}$ 对称 D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{8}]$ 上单调递增

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12. 在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心 $O_{1} ， O_{3} ， O_{5}$ 在 $x$ 轴上，且 $O_{1} O_{5}$ $∥$ $O_{2} O_{4}$ ， $| O_{1} O_{3} | = | O_{3} O_{5} | = | O_{2} O_{4} | = 2.6$ ，圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{4}$ 关于 $y$ 轴对称，直线 $O_{1} O_{5} ， O_{2} O_{4}$ 之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（）

A、设 $M ， N$ 是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则 $M ， N$ 两点间的距离的最大值为7.6 B、小圆 $O_{2}$ 的标准方程为 $(x + 1.3)^{2} + (y + 1.1)^{2} = 1$ C、图中五个圆环覆盖的区域的面积为 $2.2 π$ D、小圆 $O_{1}$ 与小圆 $O_{2}$ 的公共弦所在的直线方程为 $130 x - 110 y + 193 = 0$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. $i (5 + 9 i)$ 的虚部为.

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14. 已知方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + m^{2} + 6 = 0$ 表示一个圆，则 $m$ 的取值范围为，该圆的半径的最大值为.

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15. 已知正方体的外接球的体积为 $9 \sqrt{2} π$ ，则该正方体的棱长为.

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，其离心率 $e = \frac{1}{2} ， P$ 和 $M$ 是椭圆 $C$ 上的点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{∘} ， △ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $4 \sqrt{3} ， O$ 是坐标原点，则 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M O}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知直线 $l$ 经过点 $A (- 2 ， - 4)$ .

(1)、若 $l$ 经过点 $B (1 ， - 1)$ ，求 $l$ 的斜截式方程；

(2)、若 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为-4，求 $l$ 在 $y$ 轴上的截距.

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18. 已知圆 $M$ 的圆心的坐标为 $(1 ， - 2)$ ，且经过点 $(2 ， 1)$ .

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ 为圆 $M$ 上的一个动点，求点 $P$ 到直线 $x + 3 y - 15 = 0$ 的距离的最小值.

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19. 已知 $A ， B$ 分别是椭圆 $M ： \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的左顶点､上顶点，且 $| A B | = \sqrt{5}$ .

(1)、求点 $A ， B$ 的坐标；

(2)、若直线 $l$ 与 $A B$ 平行，且 $l$ 与 $M$ 相切，求 $l$ 的一般式方程.

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20. 如图，在直三柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A C ⊥ A B ， A C = 2 ， A B = 4 ， A A_{1} = 6 ， E ， F$ 分别为 $C A_{1}$ ， $A B$ 的中点.

(1)、若 $\vec{E F} = x \vec{B_{1} B} + y \vec{B_{1} C_{1}} + z \vec{B_{1} A_{1}}$ ，求 $x ， y ， z$ 的值；

(2)、求 $B_{1} C$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.

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21. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{2} b s i n (A + \frac{π}{4}) = b c o s A + \sqrt{3} a c o s B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0)$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $M$ 是 $E$ 上的一点.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交直线 $l$ 于点 $P$ ，交直线 $x = - 2$ 于点 $Q$ ，求 $\frac{| P Q |}{| A B |}$ 的最小值.

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