广东省揭阳市普宁市2023-2024学年高二上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.

1. 已知椭圆 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ ，则它的短轴长为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

查看试题解析
2. 已知直线m经过 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (0 ， - 3)$ 两点，则直线m的斜率为（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

查看试题解析
3. 已知空间向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1 ， 0)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{19}$ B、19 C、17 D、 $\sqrt{17}$

查看试题解析
4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} + a_{4} = 12$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前6项之和为（）

A、12 B、32 C、36 D、37

查看试题解析
5. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台 $A$ 站和 $B$ 站相距 $10 k m$ .根据它们收到的信息，可知震中到 $B$ 站与震中到 $A$ 站的距离之差为 $6 k m$ .据此可以判断，震中到地震台 $B$ 站的距离至少为（）

A、 $8 k m$ B、 $6 k m$ C、 $4 k m$ D、 $2 k m$

查看试题解析
6. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} = 1$ 和 $N ： {(x - 2 \sqrt{2})}^{2} + {(y - 2 \sqrt{2})}^{2} = m^{2} (m > 0)$ 存在公共点，则m的值不可能为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、5 D、 $4 \sqrt{2}$

查看试题解析
7. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $G$ 是 $B C$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A G} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$

查看试题解析
8. 对于数列 ${a_{n}}$ ，若存在正数 $M$ ，使得对一切正整数 $n$ ，都有 $| a_{n} | \leq M$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 是有界的.若这样的正数 $M$ 不存在，则称数列 ${a_{n}}$ 是无界的.记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $a_{n} = \frac{1}{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是无界的 B、若 $a_{n} = n s i n n$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是有界的 C、若 $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ ，则数列 ${S_{n}}$ 是有界的 D、若 $a_{n} = 2 + \frac{1}{n^{2}}$ ，则数列 ${S_{n}}$ 是有界的

查看试题解析

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ，则与 $\vec{a}$ 同向共线的单位向量 $\vec{e} =$ （）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ B、 $(0 ， 1 ， 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ D、 $(- 1 ， - 1 ， 0)$

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ a_{n} + 3 ， n 为偶数 \end{array}$ ，记 $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ，则（）

A、 $b_{1} = 3$ B、 $b_{2} = 6$ C、 $b_{n + 1} - b_{n} = 4$ D、 $b_{n} = 4 n + 2$

查看试题解析
11. 已知直线 $l ： (a + 1) x + a y + a = 0 (a \in R)$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、存在 $a$ ，使得 $l$ 的倾斜角为 $9 0^{∘}$ B、存在 $a$ ，使得 $l$ 的倾斜角为 $13 5^{∘}$ C、存在 $a$ ，使直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 D、对任意的 $a$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，且 $a = 1$ 时相交弦最短

查看试题解析
12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ， $P$ 为双曲线右支上的一点，且直线 $P A_{1}$ 与 $P A_{2}$ 的斜率之积等于 $3$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = 6$ ，则 $a = 1$ C、分别以线段 $P F_{1}$ 、 $A_{1} A_{2}$ 为直径的两个圆内切 D、 $∠ P F_{2} A_{1} = 2 ∠ P A_{1} F_{2}$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若直线 $2 x - y + 1 = 0$ 与直线 $x + a y + 3 = 0$ 平行，则 $a =$ ．

查看试题解析
14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线方程为 $x + 2 y = 0$ ，则 $a =$ ．

查看试题解析
15. 已知数列 ${a_{n}}$ 为 $\frac{3}{2}$ ， $\frac{4}{3}$ ， $\frac{5}{4}$ ， $\frac{6}{5}$ ， $⋯$ ，则该数列的一个通项公式可以是．

查看试题解析
16. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，中，M是 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A B = 2 A A_{1} = 2 A C$ ， $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B B_{1}}$ ， $\vec{M G} = 3 \vec{G N}$ ，若 $\vec{A G} = x \vec{A A_{1}} + y \vec{A B} + z \vec{A C}$ ，则 $x + y + z =$ ．

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 6 = 0$ 和直线 $l_{2} ： x + y - 1 = 0$ ．

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ 时，求a的值；

(2)、当 $l_{1} ∥ l_{2}$ 平行，求两直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离．

查看试题解析
18. 已知直线l： $2 x - y + 4 = 0$ 与x轴的交点为A，圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 经过点A．

(1)、求r的值；

(2)、若点B为圆O上一点，且直线 $A B$ 垂直于直线l，求弦长 $| A B |$ ．

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．

(1)、求证：AB⊥PC；

(2)、点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求三棱锥M﹣ACP体积．

查看试题解析
20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ . $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.① $b_{2} = 4$ ， $b_{4} = 8$ ；② $b_{2}$ 是 $b_{1}$ 和 $b_{4}$ 的等比中项， $T_{8} = 72$ .若公差不为0的等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 ▲ ，求数列 ${\frac{T_{n}}{n a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $A_{n}$ .

查看试题解析
21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (\frac{1}{2} ， 1)$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、若直线l与抛物线C交于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $y_{1} y_{2} < 0$ ，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 3$ ，求 $| y_{1} | + 2 | y_{2} |$ 的最小值．

查看试题解析
22. 已知圆 $F_{1}$ ： ${(x + 2 \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 64$ ，定点 $F_{2} (2 \sqrt{3} ， 0)$ ， A是圆 $F_{1}$ 上的一动点，线段 $F_{2} A$ 的垂直平分线交半径 $F_{1} A$ 于P点．

(1)、求P点的轨迹C的方程；

(2)、设直线 $l$ 过点 $(4 ， - 2)$ 且与曲线C相交于M，N两点， $l$ 不经过点 $Q (0 ， 2)$ ．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值．

查看试题解析