北京市通州区重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x(2－x)≥0}，则A∩B＝（）

A、{1，2} B、{1，3} C、{2，3} D、{1，2，3}

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2. 若复数z满足zi=45i(其中i为虚数单位)，则复数z为（）

A、5-4i B、-5+4i C、5+4i D、-5-4i

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3. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = e^{- x}$ C、 $y = - x^{2} + 1$ D、 $y = l g |x|$

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4. 设平面 $α$ 与平面 $β$ 相交于直线 $m$ ，直线 $a$ 在平面 $α$ 内，直线 $b$ 在平面 $β$ 内，且 $b ⊥ m$ ，则“ $α ⊥ β$ ”是“ $a ⊥ b$ ”的(　　) 　

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 2 ， S_{3} = 12$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、24 B、20 C、16 D、10

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6. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 有相等的焦距，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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7. 直线 $l$ ： $m x - y + 1 - m = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、不确定

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8. 已知x∈(0，π)，则 $f (x)$ ＝cos2x+2sinx的值域为（）

A、 $(- 1 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(0 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 2)$ D、 $[1 ， \frac{3}{2}]$

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9. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图），在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟，那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（）

A、1：2 B、 $(\sqrt{2} + 1)$ ：1 C、1： $\sqrt{2}$ D、1： $(\sqrt[3]{2} - 1)$

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10. 在一个正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中（右图）， $P$ 为正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 四边上的动点， $O$ 为底面正方形 $A B C D$ 的中心， $M ， N$ 分别为 $A B ， B C$ 中点，点 $Q$ 为平面 $A B C D$ 内一点，线段 $D_{1} Q$ 与 $O P$ 互相平分，则满足 $\vec{M Q} = λ \vec{M N}$ 的实数 $λ$ 的值有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 若 $a = (\frac{1}{2})^{0.3}$ ， $b = 0 . 3^{- 2}$ ， $c = l o g_{\frac{1}{2}} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 按从大到小的顺序排列依次为．

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12. 若 $s i n θ = \sqrt{5} c o s (2 π - θ)$ ，则 $t a n 2 θ =$ ．

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13. 抛物线的准线方程是 $y = \frac{1}{2}$ ，则其标准方程是．

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14. 在平面直角坐标系xOy中，已知 $\vec{O A} = (3, - 1)$ ， $\vec{O B} = (0, 2)$ ．若 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} = 0$ ， $\vec{A C} = λ \vec{O B}$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (x - 2 a) (a - x) ， x \leq 1 ， \\ \sqrt{x} + a - 1 \begin{array}{l} \end{array} ， x > 1 . \end{array} \begin{array}{l} \end{array}$

(1)、若 $a = 0$ ， $x \in [0 ， 4]$ ，则 $f (x)$ 的值域是；

(2)、若 $f (x)$ 恰有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. 在△ $A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $2 b c o s C = 2 a - c$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a < c$ ， $b = 2 \sqrt{7}$ ， △ $A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求a ， c的值．

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17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
条件①： $f (x)$ 的最小值为－2；
条件②： $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ；
条件③： $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{5 π}{6} ， - 1)$ ．

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， a]$ 上的最小值为－2，求a的取值范围．

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18. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $O$ 为 $B E$ 中点．将 $Δ A B E$ 沿 $B E$ 折起到 $A^{'} B E$ ，使得平面 $A^{'} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ （如图2）．

(1)、求证： $A^{'} O ⊥ C D$ ；

(2)、求直线 $A^{'} C$ 与平面 $A^{'} D E$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $A^{'} C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $O P / /$ 平面 $A^{'} D E$ ?若存在，求出 $\frac{A^{'} P}{A^{'} C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A ， B两点，当直线l的斜率为k(k≠0)时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

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20. 已知 $f (x) = (x + 1) e^{k x}$ ．

(1)、若 $k = 1$ ，求 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调递增区间；

(3)、证明：当 $k > 0$ 时， $\forall m ， n \in (0 ， + \infty)$ ， $f (m + n) + 1 > f (m) + f (n)$ ．

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21. 已知数列A： $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{N} (N \geq 3)$ 的各项均为正整数，设集合 $T = {x | x = a_{j} - a_{i} ， 1 \leq i < j \leq N}$ ，记T的元素个数为 $P (T)$ ．

(1)、若数列A：1，2，4，3，求集合T ，并写出 $P (T)$ 的值；

(2)、若A是递增数列，求证：“ $P (T) = N - 1$ ”的充要条件是“A为等差数列”；

(3)、若 $N = 2 n + 1$ ，数列A由 $1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n ， 2 n$ 这 $n + 1$ 个数组成，且这 $n + 1$ 个数在数列A中每个至少出现一次，求 $P (T)$ 的取值个数．

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