北京市重点中学2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

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一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1. 直线 $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} = 1$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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2. 已知 $\vec{a} = (2 ， 3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (t ， t + 1 ， t - 1)$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，公差 $d \neq 0$ ，如果 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列，那么 $d$ 等于（）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、2或 $- 2$

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4. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = x$ 上，且圆 $C$ 经过坐标原点，则圆 $C$ 的方程可以为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ D、 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 0$

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5. 化简方程 $| \sqrt{{(x + 5)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - 5)}^{2} + y^{2}} | = 8$ 的结果是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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6. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）

A、3699块 B、3474块 C、3402块 D、3339块

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 26 n - n^{2}$ ，若数列 ${n a_{n}}$ 中第 $k$ 项最大，则 $k$ 等于（）

A、6 B、7 C、6或7 D、8

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8. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的底面 $A B C$ 的边长为2， $M$ 是空间中任意一点，则 $\vec{M A} \cdot (\vec{M B} + \vec{M C})$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的渐近线方程为；若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点是双曲线 $C$ 的右焦点，则 $p =$ .

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{4}$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} a_{n} ， n 为偶数， \\ a_{n} + \frac{1}{4} ， n 为奇数， \end{array}$ 则 $a_{2} =$ .

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11. 若等比数列{a_n}满足a₂+a₄=20，a₃+a₅=40，则公比q=；前n项和S_n= ．

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12. 过点 $(1 ， 1)$ 且被圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 截得的弦长最短的直线 $l$ 的方程为.

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13. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ， $O$ 为原点，点 $M$ 是抛物线 $C$ 准线上的一动点，点 $A$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| A F | = 2$ ，则 $| M A | + | M O |$ 的最小值为.

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14. 心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.心脏线的平面直角坐标方程可以表示为 $x^{2} + y^{2} + a y = a \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ， $a > 0$ ，则关于这条曲线的下列说法：
①曲线关于 $x$ 轴对称；
②当 $a = 1$ 时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）；
③ $a$ 越大，曲线围成的封闭图形的面积越大；
④与圆 ${(x + a)}^{2} + y^{2} = a^{2}$ 始终有两个交点.
其中，所有正确结论的序号是.

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三、解答题：本题共2小题，共30分.

15. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{4} = 12$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4$ ， $b_{4} = 20$ ，且 ${b_{n} - a_{n}}$ 为等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长是短轴长的2倍.

(1)、求椭圆的离心率 $e$ ；

(2)、直线 $l$ 过点 $N (0 ， 2)$ 且与椭圆有唯一公共点 $M$ ， $O$ 为坐标原点，当 $△ O M N$ 的面积最大时，求椭圆的方程.

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