广东省深圳市南山区重点中学2023-2024学年高三下学期一模适应性考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = ($ $)$

A、 $- 8$ B、 $- 6$ C、6 D、8

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2. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，则下列说法正确的是 $($ $)$

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m / / α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $n ⊥ β$ D、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $n / / β$

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3. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{4} + 2 a_{9} + a_{20} = 24$ ，则 $S_{20} = ($ $)$

A、60 B、120 C、180 D、240

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4. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6， $x$ ，则这6个点数的中位数为4的概率为 $($ $)$

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{3}) + 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[0$ ， $\frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 3$ ， $b = 5$ ， $c = 2 a c o s A$ ，则 $c o s A = ($ $)$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{3 m^{2}} = 1$ 的一条渐近线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若 $| F_{1} F_{2} | = | A B |$ ，则 $C_{1}$ 的离心率为 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x) + e^{x}$ 是偶函数， $y = f (x) - 3 e^{x}$ 是奇函数，则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、 $e$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 e$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 某服装公司对 $1 - 5$ 月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号 $x$
1
2
3
4
5
销量 $y$ （万件）
50
96
142
185
227
若 $y$ 与 $x$ 线性相关，其线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 7.1$ ，则下列说法正确的是 $($ $)$

A、线性回归方程必过 $(3 ， 140)$ B、 $\hat{b} = 44.3$ C、相关系数 $r < 0$ D、6月份的服装销量一定为272.9万件

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10. 设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数，下列命题中正确的是 $($ $) ?$

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 中至少有一个是0 C、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ D、 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$

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11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 k x - 2 y - 2 k = 0$ ，则下列命题是真命题的是 $($ $)$

A、若圆 $C$ 关于直线 $y = k x$ 对称，则 $k = \pm 1$ B、存在直线与所有的圆都相切 C、当 $k = 1$ 时， $P (x ， y)$ 为圆 $C$ 上任意一点，则 $y + \sqrt{3} x$ 的最大值为 $5 + \sqrt{3}$ D、当 $k = 1$ 时，直线 $l ： 2 x + y + 2 = 0$ ， $M$ 为直线 $l$ 上的动点．过点 $M$ 作圆 $C$ 的切线 $M A$ ， $M B$ ，切点为 $A$ ， $B$ ，则 $| C M | \cdot | A B |$ 最小值为4

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 4}$ ，集合 $B = {x | x + a - 1 ⩾ 0}$ ，若 $A ∪ B = {x | x > - 2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆．若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为 $\sqrt{3}$ 的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $(a_{n + 1} - a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 2 a_{n}) = 0$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都成立，则能使 $a_{m} = 2023$ 成立的正整数 $m$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = a l n x - b x^{2} + 1$ ， $a$ ， $b \in R$ ．若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处与直线 $y = 0$ 相切．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}$ ， $e^{2}]$ （其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数）上的最大值和最小值．

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16. 如图，在圆锥 $S O$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，且 $Δ S A B$ 是边长为4的等边三角形， $C$ ， $D$ 为圆弧 $A B$ 的两个三等分点， $E$ 是 $S B$ 的中点．

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $S A C$ ．

(2)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B D$ 所成锐二面角的余弦值．

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17. 某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．

(1)、求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；

(2)、记选出的2人参加志愿者活动次数之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望．

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18. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (a ， 4)$ 在抛物线 $C$ 上， $Δ P O F$ （其中 $O$ 为坐标原点）的面积为4．

(1)、求 $a$ ；

(2)、若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于异于点 $P$ 的 $A$ ， $B$ 两点，且直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率之和为 $\frac{4}{3}$ ，证明：直线 $l$ 过定点，并求出此定点坐标．

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19. 对于给定的正整数 $n$ ，记集合 $R^{n} = {α | α = (x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\dots$ ， $x_{n})$ ， $x_{j} \in R$ ， $j = 1$ ， 2，3， $\dots$ ， $n}$ ，其中元素 $α$ 称为一个 $n$ 维向量．特别地， $\vec{0} = (0 ， 0 ， \dots ， 0)$ 称为零向量．
设 $k \in R$ ， $α = (a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n})$ ， $β = (b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $\dots$ ， $b_{n}) \in R^{n}$ ，定义加法和数乘： $α + β = (a_{1} + b_{1}$ ， $a_{2} + b_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n} + b_{n})$ ， $k α = (k a_{1}$ ， $k a_{2}$ ， $\dots$ ， $k a_{n})$ ．
对一组向量 $\vec{α_{1}}$ ， $\vec{α_{2}}$ ， $\dots$ ， $\vec{α_{s}} (s \in N_{+}$ ， $s ⩾ 2)$ ，若存在一组不全为零的实数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $\dots$ ， $k_{s}$ ，使得 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \dots + k_{s} \vec{α_{s}} = \vec{0}$ ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．

(1)、对 $n = 3$ ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
① $\vec{α} = (1 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{β} = (2 ， 2 ， 2)$ ；
② $\vec{α} = (1 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{β} = (2 ， 2 ， 2)$ ， $\vec{γ} = (5 ， 1 ， 4)$ ；
③ $\vec{α} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{β} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{γ} = (0 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{δ} = (1 ， 1 ， 1)$ ．

(2)、已知向量 $\vec{α}$ ， $\vec{β}$ ， $\vec{γ}$ 线性无关，判断向量 $\vec{α} + \vec{β}$ ， $\vec{β} + \vec{γ}$ ， $\vec{α} + \vec{γ}$ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．

(3)、已知 $m (m ⩾ 2)$ 个向量 $\vec{α_{1}}$ ， $\vec{α_{2}}$ ， $\dots$ ， $\vec{α_{m}}$ 线性相关，但其中任意 $m - 1$ 个都线性无关，证明下列结论：
（ⅰ）如果存在等式 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \dots + k_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0} (k_{i} \in R$ ， $i = 1$ ， 2，3， $\dots$ ， $m)$ ，则这些系数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $\dots$ ， $k_{m}$ 或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \dots + k_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ ， $l_{1} \vec{α_{1}} + l_{2} \vec{α_{2}} + \dots + l_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0} (k_{i} \in R$ ， $l_{i} \in R$ ， $i = 1$ ， 2，3， $\dots$ ， $m)$ 同时成立，其中 $l_{1} \neq 0$ ，则 $\frac{k_{1}}{l_{1}} = \frac{k_{2}}{l_{2}} = \dots = \frac{k_{m}}{l_{m}}$ ．

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月份编号 $x$	1	2	3	4	5
销量 $y$ （万件）	50	96	142	185	227