吉林省长春市朝阳区2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：开学考试

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一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， m) ， \vec{b} = (- 3 ， 0 ， - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = - \frac{27}{4}$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 若直线经过点 $(1 ， - 3)$ 和圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ 的圆心，并且与直线 $m x - 2 y + 3 = 0$ 垂直，则m的值为（）

A、-4 B、4 C、-1 D、1

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4. 设点P，Q分别为直线 $3 x + 4 y - 7 = 0$ 与直线 $6 x + 8 y + 3 = 0$ 上的任意一点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{17}{10}$ D、 $\frac{11}{10}$

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5. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{S_{5}}{S_{10}} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{20}} =$ （）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{3}{14}$ C、 $\frac{3}{11}$ D、 $\frac{3}{10}$

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6. 下列命题正确的个数是（）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A}$ = $\vec{0}$
②若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 所在的直线为异面直线，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 一定不共面
③若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所在直线平行
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4 ， M$ 为棱 $C C_{1}$ 中点， $F$ 为正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内（舍边界）的动点，若 $M F ⊥ A M$ ，则动点 $F$ 的轨迹长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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8. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， C_{1}$ 的上顶点为M，且 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，双曲线 $C_{2}$ 和椭圆 $C_{1}$ 有相同的焦点，P为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的一个公共点.若 $| O P | = \frac{1}{2} | F_{1} F_{2} |$ （O为坐标原点），则 $C_{2}$ 的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）

9. 直线 $l ： m x + (m + 2) y - 2 m - 2 = 0$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(1 ， 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $C$ 必有两个交点 C、直线 $l$ 与圆 $C$ 的相交弦长的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、当 $m = 0$ 时，圆 $C$ 上存在3个点到直线 $l$ 距离等于1

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10. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3 ， a_{n + 1} = (1 + \frac{1}{n}) a_{n} + 2 n + 2$ ， $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，若 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{λ n 9^{n}}{a_{n}} - 8^{n} \geq 0$ 恒成立，则（）

A、 ${b_{n}}$ 为等差数列 B、 ${b_{n}}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = 2 n^{2} + n$ D、实数 $λ$ 的最小值为 $17 \times {(\frac{8}{9})}^{9}$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P在抛物线上，点 $Q (m ， n)$ ，点P到点Q和到y轴的距离分别为 $d_{1} 、 d_{2}$ ，则（）

A、抛物线C的准线方程为 $y = - 1$ B、若 $m = n = 1$ ，则 $△ P Q F$ 周长的最小值等于3 C、若 ${(m - 3)}^{2} + n^{2} = 1$ ，则 $d_{1}$ 的最小值等于2 D、若 $m - n = - 4$ ，则 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值等于 $\frac{5 \sqrt{2}}{2} - 1$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 顶点在原点，焦点在y轴上，且过点 $P (- 2 ， 3)$ 的抛物线的标准方程是.

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13. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 和侧面 $C C_{1} D_{1} D$ 的中心，若 $\vec{E F} + λ \vec{A_{1} D} = \vec{0} (λ \in R)$ ，则 $λ =$ ．

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14. 已知 $A (- 1 ， 0) ， B (0 ， 2)$ ，直线 $l ： 2 x - 2 a y + 3 + a = 0$ 上存在点 $P$ ，满足 $| P A | + | P B | = \sqrt{5}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{2} = 5 ， 4 a_{5} = a_{9} ， S_{m} < 0$ ，求 $m$ 的最小值；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{5} - a_{3} = 6 ， a_{6} - a_{4} = 12$ ，求 $\frac{S_{n} + \frac{1}{2}}{a_{n}}$ 的值.

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点， $| M N | = 8$ ，求直线方程.

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17. 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．

(1)、求证：平面BCD⊥平面ACE；

(2)、若 $A E = \sqrt{2}$ ， $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值

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18. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{5} x + 2 y = 0$ ，其虚轴长为 $2 \sqrt{5} ， P$ 为双曲线 $C$ 上任意一点．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、求证： $P$ 到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；

(3)、若双曲线 $C$ 的左顶点为 $A_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，求 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + n a_{n} = \frac{n + 1}{2} a_{n + 1}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${n^{2} a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、若对于 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} \geq (n + 1) λ$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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吉林省长春市朝阳区2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）