四川省广元市重点中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：开学考试

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一、单项选择题（本大题共8小题共40分）

1. 直线 $l ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - 1$ 的倾斜角为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $6 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

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2. 设 $A ， B$ 是一个随机试验中的两个事件，则（）

A、 $P (A ∪ B) = P (A) + P (B)$ B、 $P (A) + P (B) \leq 1$ C、 $P (A ∩ B) = P (A) P (B)$ D、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A) \leq P (B)$

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3. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2 ， a_{4} = 12$ ，则 $a_{6}$ 的值为（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的焦距为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{7} x$

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5. 随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个股子的点数之和是4的倍数的概率是（）

A、 $\frac{7}{36}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 如图，空间四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 8 ， B D = 6 ， M ， N$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点，并且异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $9 0^{∘}$ ，则 $M N =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 我国古代著作《庄子・天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第 $n$ 天后剩余木棍的长度为 $a_{n}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得不等式 $S_{n} > \frac{31}{32}$ 成立的正整数 $n$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知某“鞠”的表面上有四个点 $P$ 、 $A 、 B 、 C$ ，其中 $P A ⊥$ 平面 $A B C ， P A = 2 \sqrt{2} ， A B = A C = 2 ， ∠ B A C = 9 0^{∘}$ ，则该球的体积为（）

A、 $16 π$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $8 π$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为正方形， $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A C ⊥ S B$ B、 $A D ⊥ S C$ C、平面 $S A C ⊥$ 平面 $S B D$ D、 $B D ⊥ S A$

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10. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - n^{2} + 7 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $a_{10} = - 14$ C、当 $n > 4$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 3$ 或4时， $S_{n}$ 取得最大值

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11. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(3 ， 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $C$ 可能相离 C、圆 $C$ 被 $y$ 轴截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ D、圆 $C$ 被直线 $l$ 截得的弦长最短时，直线 $l$ 的方程为 $x + 2 y - 5 = 0$

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12. 已知点 $A$ 是圆 $C ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 24$ 上的任意一点，点 $B (0 ， - 2)$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $P$ ，设点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ．直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $M ， N$ 两点，且点 $Q (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ 为线段 $M N$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、曲线 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、曲线 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、直线 $l$ 的方程为 $3 x + y - 2 = 0$ D、 $△ B M N$ 的周长为 $4 \sqrt{6}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 0) ， \vec{b} = (2 ， y ， - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $y =$ ．

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14. 若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点 $P (a ， b)$ 到其焦点 $F$ 的距离为3，则 $a =$ ．

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15. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，公差 $d$ 不为0，若 $2 S_{3} = 3 S_{2} + 3 a_{1}$ ，则 $\frac{a_{1}}{d} =$ ．

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16. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作圆 $G ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为 $P ， Q$ ，若 $△ F P Q$ 为等边三角形，则 $p$ 的值为．

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四、解答题（本大题共6小题、共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} = 7 ， S_{5} = 3 a_{2} + 16$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 为参加广元市第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加市级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙同学晋级第二轮的概率为 $m$ ．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、乙两人能胜出的概率均为 $\frac{1}{3}$ ．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响．

(1)、若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为 $\frac{5}{12}$ ，求 $m$ 的值：

(2)、在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率．

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19. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $N$ 为 $B_{1} C_{1}$ 中点，点 $M$ 在线段 $A_{1} B$ 上， $3 A_{1} M = A_{1} B$ ．设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$

(1)、试用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示向量 $\vec{M N}$ ；

(2)、若 $∠ B A C = ∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 6 0^{∘} ， A B = A C = A A_{1} = 1$ ，求 $M N$ 的长．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中，满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n \in N_{+})$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 如图 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为直三棱柱， $B C ⊥ A B ， B C = A B = A A_{1}$ ，设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $A - B D - C$ 的正弦值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A ， B$ ，且 $| A B | = 4$ ，离心率为 $\frac{1}{2} ， F$ 为椭圆 $C$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 且斜率为1的直线交椭圆 $C$ 于 $M 、 N$ 两点，求 $△ A M N$ 的面积；

(3)、设 $P$ 是椭圆 $C$ 上不同于 $A ， B$ 的一点，直线 $P A 、 P B$ 与直线 $x = 4$ 分别交于点 $D 、 E$ ．证明：以线段 $D E$ 为直径的圆过定点，并求出定点的坐标．

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