四川省广元市重点中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：开学考试

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一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{1 - x}} ， B = {x | l n (x + 2) > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1]$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 1]$

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2. $s i n 315 ° - c o s 495 ° + 2 s i n 210 °$ 的值是（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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3. 已知 $p ： a > 2 ， q ： \forall x \in R ， x^{2} + a x + 1 \geq 0 是假命题，则 p 是 q 的$ （）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x ， x \leq 1 \\ \frac{1}{x - 1} ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1))$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、1

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5. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 \leq φ \leq π)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$

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6. 锐角 $△ A B C$ 中，若 $s i n A c o s A = c o s^{2} A - \frac{1}{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{4}$

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7. 已知函数 $f (x + 1)$ 为定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，且在 $[- 1 ， 0]$ 上单调递增，若 $f (m + 2) + f (2 m + 1) < 0$ ，则m的取值范围是（）

A、 $- \frac{1}{2} \leq m < - \frac{1}{3}$ B、 $- 1 \leq m < - \frac{1}{3}$ C、 $- 1 \leq m \leq 0$ D、 $m < - \frac{1}{3}$

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8. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} a^{x} ， x \geq 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， x < 1 \end{matrix}$ 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

A、[4，8） B、（1，8） C、（4，8） D、（1，+∞）

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二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分。每题有多个选项，漏选可得2分，多选，错选，不选均不得分）

9. 下列函数中，在定义域内既为奇函数又为增函数的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = e^{x} - e^{- x}$ C、 $y = l n (x^{2} - 1)$ D、 $y = | s i n x |$

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10. 下列式子不正确的是（）

A、 $1 . 5^{2.5} > 1 . 5^{3.4}$ B、 $1 . 7^{0.3} < 0 . 9^{2.3}$ C、 ${(\frac{1}{5})}^{\frac{2}{3}} < {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}$ D、 $0 . 8^{0.5} < 0 . 9^{0.4}$

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11. 下列各结论中正确的是（）

A、“ $a b > 0$ ”是“ $\frac{a}{b} > 0$ ”的充要条件 B、函数 $y = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的最小值为2 C、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ ” D、若函数 $y = x^{2} - a x + 1$ 有负值，则实数a的取值范围是 $a > 2$ 或 $a < - 2$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， x > 0 \\ 2^{| x + 1 |} ， x \leq 0 \end{array}$ ，若存在四个不同的值 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4}) (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $- 2 \leq x_{1} < - 1$ B、 $0 \leq x_{1} x_{2} < 1$ C、 $x_{3} x_{4} = e$ D、 $x_{3} + x_{4} > e$

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三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13. 已知扇形的面积为 $4 c m^{2}$ ，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为．

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14. 函数 $y = l o g_{2} (- x^{2} + 2 x + 3)$ 的单调递减区间为．

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15. 已知 $c o s α = - \frac{3}{5}$ ，且 $t a n α > 0$ ，则 $\frac{s i n α c o s^{2} α}{1 - s i n α} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的图象有且仅有2个最高点，则下面四个结论：
① $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的图象有且仅有1个最低点；② $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上至少有3个零点，至多4个零点；
③ $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上单调递增；④ $ω$ 的取值范围为 $[\frac{11}{4} ， \frac{19}{4})$ ；
其中正确的所有序号是．

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四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题每题12题，共70分，每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤）

17. 计算：

(1)、 ${(\frac{4}{9})}^{\frac{1}{2}} + {(0.008)}^{\frac{2}{3}} \times \frac{25}{2} + {(π + 1)}^{0}$ ；

(2)、 $l o g_{4} 8 + l g 0.01 + l n \sqrt{e} + 3^{l o g_{3} 1}$ ．

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18. 已知 $f (x) = \frac{c o s x s i n (π + x) t a n (π - x)}{s i n (\frac{3 π}{2} + x) c o s (\frac{π}{2} - x)}$ ．

(1)、化简函数 $f (x)$ ；

(2)、若 $f (α) = 2$ ，求 $\frac{c o s α - s i n α}{c o s α - 2 s i n α}$ 的值．

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19. 已知关于x的不等式 $x^{2} + (a - 3) x - b < 0$ ．

(1)、若该不等式的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，求a和b的值；

(2)、若 $b = 3 a$ ，求该不等式的解集．

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20. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系．要求及图示如下：
①函数是区间 $[0 ， 60]$ 上的增函数；
②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
③每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分；
④每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分．
现有以下三个函数模型供选择：
（Ⅰ） $y = k x + b (k > 0)$ ，（Ⅱ） $y = k \cdot 2^{x} + b (k > 0)$ ，（Ⅲ） $y = k \cdot l o g_{2} (\frac{x}{10} + 2) + n (k > 0)$ ．

(1)、请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；

(2)、求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟．（注： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ，结果保留整数）．

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21. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{3}) + 2 s i n (x - \frac{π}{4}) s i n (x + \frac{π}{4})$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和图象的对称轴方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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22. 已知函数 $f (x) = a^{2 x} - k a^{x} + 1$ （ $- 1 \leq x \leq 1$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若 $a = 2$ ， $k = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $\forall k \in [- 2 ， 2]$ ， $\exists x_{0} \in [- 1 ， 1]$ ，使 $f (x_{0}) \geq 4$ 成立，求a的取值范围．

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