四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：开学考试

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一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，请把答案填涂在答题卡的相应位置上）

1. 直线 $\sqrt{3} x + 3 y + 4 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $15 0^{∘}$ B、 $12 0^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $3 0^{∘}$

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2. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生 $1 \sim 5$ 之间的随机数：
425
123
423
344
144
435
525
332
152
342
534
443
512
541
135
432
334
151
312
354
若用 $1 ， 3 ， 5$ 表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）

A、 $\frac{9}{20}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{11}{20}$ D、 $\frac{13}{20}$

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3. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 4 ， a_{4} + a_{5} + a_{6} = 8$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}} =$ （）

A、2 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{7}$

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4. 在椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 中，以点 $M (2 ， \frac{3}{2})$ 为中点的弦所在的直线方程为（）

A、 $x - 2 y + 1 = 0$ B、 $3 x - 4 y = 0$ C、 $3 x + 4 y - 12 = 0$ D、 $8 x - 6 y - 25 = 0$

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5. 圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ 的公共弦的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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6. 已知点 $P$ 在直线 $l ： 3 x + 4 y + 3 = 0$ 上，过 $P$ 作圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 9 = 0$ 的两条切线，切点为 $A ， B$ ，则 $∠ A P B$ 的最大值为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $9 0^{∘}$

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7. 如图，已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线与双曲线 $C$ 的左支交于点 $A ， B$ ，若 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0 ， \vec{B F_{1}} = \frac{3}{2} \vec{F_{1} A}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{6} x$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左顶点是 $A$ ，左､右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2} ， M$ 是 $C$ 在第一象限上的一点，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ .若 $M F_{2}$ $∥$ $A N$ ，则直线 $M N$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{11}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{7}$

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二、多选题（请把答案填涂在答题卡的相应位置上）

9. 抛掷一枚质地均匀的股子，记 $A_{i} =$ “点数为 $i$ ，其中， $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， B =$ “点数为奇数”， $C =$ “点数为偶数”，则（）

A、 $P (A_{5}) = \frac{1}{6}$ B、 $A_{2} ， B$ 为互斥事件 C、 $A_{1} \cap B = \emptyset$ D、 $B ， C$ 为对立事件

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10. 已知直线 $l ： (a^{2} + 2 a + 2) x - y + 2 = 0 ， a \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ 与直线 $15 a x - 3 y + 2 = 0$ 平行，则 $a = 2$ B、直线 $l$ 倾斜角的范围为 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ C、当 $a = - 1$ 时，直线 $l$ 与直线 $x + y = 0$ 垂直 D、直线 $l$ 过定点 $(0 ， - 2)$

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11. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， A A_{1} = 3 ， E ， F$ 分别是 $A_{1} D_{1} ， C D$ 的中点， $G$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，则下列结论正确的有（）

A、若 $G$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则 $C G ⊥ A E$ B、若 $G$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则 $A$ 到 $F G$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{61}}{5}$ C、若 $\vec{A_{1} G} = \frac{1}{4} \vec{A_{1} B_{1}}$ ，则 $C G$ $∥$ 平面 $A E F$ D、 $△ E F G$ 的周长的最小值为 $\sqrt{17} + \sqrt{53}$

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12. 某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格.从第0格起跳，记跳到第 $n (n \in N^{*})$ 格的概率为 $P (n)$ ，则（）

A、 $P (1) = \frac{3}{4}$ B、 $P (2) = \frac{9}{16}$ C、数列 ${P (n + 1) + \frac{1}{4} P (n)}$ 为等差数列 D、 $P (n) = \frac{4}{5} - \frac{1}{20} \times {(- \frac{1}{4})}^{n - 1}$

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三、填空题（请把答案写在答题卡相应位置上）

13. 已知数列 ${a_{n}}$ ，对 $\forall m ， n \in N^{*}$ 都有 $a_{m} + a_{n} = a_{m + n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2} + a_{4} + ⋯ + a_{2 n} =$ .

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14. 在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 靠近 $D_{1}$ 的三等分点. $F$ 为线段 $B B_{1}$ 靠近 $B$ 的三等分点，则直线 $F C_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离为.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 3 ， 0) ， B (- 1 ， - 2)$ ，若圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上有且仅有一对点 $M ， N$ ，使得 $△ M A B$ 的面积是 $△ N A B$ 的面积的2倍，则 $r$ 的值为.

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16. 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，这条垂线与另一条渐近线在第一象限内交于点 $A ， O$ 为坐标原点，若 $| O P | ， | P A | ， | O A |$ 成等差数列，则 $C$ 的离心率为.

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四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 甲､乙､丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为 $p ， 1 - p ， \frac{2}{3}$ ，其中 $0 < p < 1$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{4}$ ，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；

(2)、当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F (1 ， 0)$ 与短轴端点间的距离为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 作直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $S_{△ O P Q} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $l$ 的方程.

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19. 将矩形面 $A B B_{1} A_{1}$ 绕边 $A A_{1}$ 顺时针旋转 $9 0^{∘}$ 得到如图所示几何体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ .已知 $A B = 2 ， A A_{1} = 3$ ，点 $E$ 在线段 $B B_{1}$ 上， $P$ 为圆弧 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、当 $E$ 是线段 $B B_{1}$ 的中点时，求异面直线 $A E$ 写 $A_{1} C$ 所成角的余弦值；

(2)、在线段 $B B_{1}$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $A E$ $∥$ 平面 $A_{1} C P$ ？如果存在求出线段 $B E$ 的长，如果不存在，说明理由.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 4 - a_{n} (n \in N^{*})$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2 ， a_{8} b_{32} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} S_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A E ⊥$ 平面 $A B C D ， A D ⊥ A B ， A D$ $∥$ $B C ， A E = A B = B C = 2$ ， $A D = 1$ ，过 $A D$ 的平面分别与棱 $E B ， E C$ 交于点 $M ， N$ .

(1)、求证： $A D$ $∥$ $M N$ ；

(2)、记二面角 $A - D N - E$ 的大小为 $θ$ ，求 $c o s θ$ 的最大值.

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， M (m ， - 2)$ 为抛物线上一点， $| M F | = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A (- 2 ， 0)$ ，点 $B (2 ， 1)$ ，过点 $A$ 的直线与抛物线交于 $P ， Q$ 两点，连接 $P B$ 交抛物线于另一点 $T$ ，证明：直线 $Q T$ 过定点，并求出定点坐标.

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425	123	423	344	144	435	525	332	152	342
534	443	512	541	135	432	334	151	312	354

425	123	423	344	144	435	525	332	152	342
534	443	512	541	135	432	334	151	312	354

425	123	423	344	144	435	525	332	152	342
534	443	512	541	135	432	334	151	312	354