湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：开学考试

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一、单选题（共有8题，每题5分，共40分，每小题只有一项正确答案.）

1. 已知集合A＝{x|y＝ $\sqrt{x}$ }，B＝{y|y＝ $\frac{1}{x - 1}$ }，则A∩B＝（）

A、{x|x≥0} B、{x|x≥0且x≠1} C、{x|x≠1} D、{x|x＞0}

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2. 命题“ $\forall x \geq \sqrt{3}$ ， $x^{2} \geq 3$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \leq \sqrt{3}$ ， $x^{2} \geq 3$ B、 $\exists x < \sqrt{3}$ ， $x^{2} < 3$ C、 $\forall x \geq \sqrt{3}$ ， $x^{2} < 3$ D、 $\exists x \geq \sqrt{3}$ ， $x^{2} < 3$

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3. 已知函数f（x）＝ ${\begin{array}{l} a^{x - 1} ， (x ＜ 1) \\ (a - 2) x + 3 a ， (x \geq 1) \end{array}$ ，满足对任意x₁≠x₂ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ＜0成立，则a的取值范围是（）

A、（0，1） B、 $[\frac{3}{4} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{3}{4} ， 2)$

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4. “函数y＝x²-2ax+1在[1，+∞）上是严格增函数”是“a≤0”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数f（x）＝ ${\begin{array}{l} | l n (x - 2) | ， x ＞ 2 \\ 2^{| x - 1 |} + \frac{1}{2} ， x \leq 2 \end{array}$ ，若函数g（x）＝[f（x）]²-2af（x）有四个不同的零点，实数a的取值范围是（）

A、 ${\frac{3}{4}} \cup (\frac{5}{4} ， + \infty)$ B、 ${\frac{1}{2}} \cup (\frac{5}{4} ， + \infty)$ C、 $(\frac{3}{4} ， \frac{5}{4}]$ D、 $(\frac{3}{4} ， 0)$

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6. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2^x+x² ，则不等式f（2x-1）＜3的解集为（）

A、（-∞，1） B、（-∞，2） C、（-2，2） D、（-1，2）

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7. 已知 $a = l n π ， b = l o g_{3} π ， c = \sqrt{π} l n 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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8. 已知点A $(\frac{π}{24} ， 0)$ 在函数f（x）＝cos（2ωx+φ）（ω＞0且ω∈N^* ， 0＜φ＜π）的图象上，直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数f（x）的图象的一条对称轴．若f（x）在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 内单调，则φ＝（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得得2分，有错选的得0分.）

9. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 C、 $x = - \frac{11 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{2} - x_{1} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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10. 对任意两个实数a，b，定义min（a，b）＝ ${\begin{array}{l} a ， a \leq b \\ b ， a ＞ b \end{array}$ ，若f（x）＝2-x² ， g（x）＝x²-2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（）

A、函数F（x）是偶函数 B、方程F（x）＝0有两个实数根 C、函数F（x）在 $(- \sqrt{2} ， 0)$ 上单调递增，在 $(0 ， \sqrt{2})$ 上单调递减 D、函数F（x）有最大值为0，无最小值

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11. 已知 $- \frac{π}{2} ＜ θ ＜ \frac{π}{2}$ ，且sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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12. 已知函数y＝f（x）的定义域为R且具有下列性质：
①y＝f（x）是奇函数；
②f（x+2）+f（4-x）＝f（3）；
③当x∈（0，3），f（x）＝ $- \frac{4}{9} x^{2} + \frac{4}{3} x$ ，函数g（x）＝ $l o g_{12} | x |$ ．
下列结论正确的是（）

A、3是函数y＝f（x）的周期 B、函数y＝f（x）在 $(\frac{9}{2} ， \frac{15}{2})$ 上单调递增 C、函数y＝g（x）与函数y＝f（x）的图像的交点有8个 D、函数y＝f（x）与函数y＝log_ax（a＞0，a≠1）的图像在区间（0，15）的交点有5个，则实数a＞ $\frac{27}{2}$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 求值 $4 \times （ \frac{16}{49} ）^{- \frac{1}{2}} + 2 l o g_{6} 3 + l o g_{6} 4 ﹣ （ \frac{1}{5} ）^{l o g_{5} 2} + c o s \frac{17 π}{3} ＝$

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14. 若 $c o s (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $s i n 2 θ =$ ．

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15. 已知 $f (x)$ 是在定义域 $(0 ， + ∞)$ 上的单调函数，且对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 都满足： $f (f (x) - 2 l o g_{2} x) = 4$ ，则满足不等式 $f (x) - 2 < l o g_{2} (3 x)$ 的 $x$ 的取值范围是.

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16. 下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的序号）
①若奇函数 $f (x)$ 的周期为4，则函数 $f (x)$ 的图象关于 $(2 ， 0)$ 对称；
②如 $a \in (0 ， 1)$ ，则 $a^{1 + a} < a^{1 + \frac{1}{a}}$ ；
③函数 $f (x) = l n \frac{1 + x}{1 - x}$ 是奇函数；
④存在唯一的实数 $a$ 使 $f (x) = l g (a x + \sqrt{2 x^{2} + 1})$ 为奇函数

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且f（x）+g（x）＝ ${2^{1 ﹣}}^{x}$

(1)、求f（x），g（x）的解析式；

(2)、若对任意的x∈R，f（x）≥ $2^{n^{2} - 2 n - 2}$ 恒成立，求n的取值范围．

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18. 已知集合A＝{y|y＝-2^x ， x∈[2，3]}，B＝{x|x²+3x-a²-3a＞0}．

(1)、当a＝4时，求A∩B；

(2)、若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围

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19. 设函数f（x）＝x²-2 t x+2，其中t∈R．

(1)、若t＝1，求函数f（x）在区间[0，4]上的值域；

(2)、若t＝1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围；

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20. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与施肥量x（单位：kg）满足如下关系： $W (x) = {\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 3) ， 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{50 x}{1 + x} ， 2 ＜ x \leq 5 \end{array}$ ，肥料成本投入为10x元，其他成本投入（如培育管理，施肥等人工费）20x元，已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为f（x）．（单位：元）

(1)、写出单株利润f（x）关于施肥量x的关系式；

(2)、当施肥量为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x \sin (x + \frac{π}{3}) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} ， x \in R$ .

(1)、当 $x \in [0 ， π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，所得图象对应的函数为 $h (x)$ .若关于 $x$ 的方程 $2 {[h (x)]}^{2} + m h (x) + 1 = 0$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不相等的实根，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 设 $D$ 是函数 $y = f (x)$ 定义域的一个子集，若存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (x_{0}) = - x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“准不动点”，也称 $f (x)$ 在区间 $D$ 上存在准不动点.已知 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (4^{x} + a \cdot 2^{x} - 2)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的准不动点；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上存在准不动点，求实数 $a$ 的取值范围.

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