湖南省常德市汉寿县2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8} ， P = {3 ， 4 ， 5}$ ， $Q = {1 ， 3 ， 6}$ ，那么集合 ${2 ， 7 ， 8}$ 是（）

A、 $P ∪ Q$ B、 $P ∩ Q$ C、 $C_{U} P ∪ C_{U} Q$ D、 $C_{U} P ∩ C_{U} Q$

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2. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{40} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

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3. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 B、 C、三棱锥的体积为定值 D、的面积与的面积相等

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4. 将标号为1、2、3、4、5、6的6个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6的6个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有（）

A、45种 B、90种 C、135种 D、180种

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5. 平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (3 ， - 2) ， \vec{a} - \vec{b} = (1 ， x)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\pm 2 \sqrt{3}$ D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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6. 已知 $△ A B C$ 中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $a = 7$ ， $c = 5$ ，则 $\sin A ： \sin B =$ （）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 已知 $a = t a n (1 + π - \frac{3}{π}) ， b = t a n 0.1 ， c = \frac{0.4}{π}$ ，则（）．

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 若函数 $y = f (x)$ 图象上存在两个点 $A$ ， $B$ 关于原点对称，则对称点 $(A ， B)$ 为函数 $y = f (x)$ 的“孪生点对”，且点 $(A ， B)$ 对 $(B ， A)$ 与可看作同一个“孪生点对”.若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 ， x < 0 \\ - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2 - a ， x \geq 0 \end{array}$ 恰好有两个“孪生点对”，则实数 $a$ 的值为

A、0 B、2 C、4 D、6

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二、多选题

9. 已知复数 $z ， w$ 均不为0，则（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、 $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{z^{2}}{| z |^{2}}$ C、 $\bar{z - w} = \bar{z} - \bar{w}$ D、 $| \frac{z}{w} | = \frac{| z |}{| w |}$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点．在 $△ P F_{1} F_{2}$ 中，下列说法正确的有（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2 a + 2 c$ B、若 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，则 $| P F_{2} | = \frac{b^{2}}{a}$ C、若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率取值范围为 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} < b^{2}$

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11. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = \frac{1}{(- 2)^{n - 1}} + a$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = - 2$ B、 ${S_{n}}$ 中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值 C、 ${S_{n}}$ 的最大项为 $S_{1} = 3$ ，最小项为 $S_{2} = \frac{3}{2}$ D、 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + ⋯ + a_{10} a_{11} = 6 (\frac{1}{2^{20}} - 1)$

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三、填空题

12. 如图，已知圆柱 $O O_{1}$ ， A在圆 $O$ 上， $A O = 1$ ， $O O_{1} = \sqrt{2}$ ， $P$ ， $Q$ 在圆 $O_{1}$ 上，且满足 $P Q = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则直线 $A O_{1}$ 与平面 $O P Q$ 所成角余弦的最小值是．

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13. 已知圆锥的顶点为S，母线 $S A ， S B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$ ， $S A$ 与圆锥底面所成角为 $60 °$ ，若 $△ S A B$ 的面积为 $\frac{8}{5}$ ，则该圆锥的全面积为.

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14. 已知a＞b＞0，且ab＝4，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 取得最小值时相应的b=.

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四、解答题

15. $2023$ 年 $5$ 月 $3$ 日，文化和旅游部公布 $2023$ 年“五一”假期文化和旅游市场情况，全国国内旅游出游合计 $2.74$ 亿人次，同比增长 $70.83 %$ 某市为了解游客对本地某旅游景区的总体满意度，随机抽取了该景区 $200$ 名游客进行调查.

满意
不满意
合计
本省
$90$

外省

$25$
$100$
合计

(1)、请完成 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客来源地”有关联？

(2)、若将频率视为概率，设随机抽取的 $3$ 位游客中来自外省且对该景区满意的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(3)、市政府使用综合满意率 $M = \frac{P_{1} - \bar{P_{2}}}{P_{0}}$ （其中 $P_{1}$ 表示外省游客满意率， $P_{2}$ 本省游客满意率， $P_{0}$ 表示整体满意率）来认定星级景区，综合满意率 $M \geq 95 %$ 可认定为五星级景区，综合满意率 $85 % \leq M < 95 %$ 可认定为四星级景区，综合满意率 $80 % \leq M < 85 %$ 为三星级景区，综合满意率 $M < 80 %$ 为不定星级景区，请利用样本数据，判断该景区属于什么级别景区.
$α$
$0.100$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

满意
不满意
合计
本省
$90$
$10$
$100$
外省
$75$
$25$
$100$
合计
$165$
$35$
$200$

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16. 如图，四边形ABCD是圆台EF的轴截面，M是上底面圆周上异于C，D的一点，圆台的高 $E F = \sqrt{3}$ ， $A B = 2 C D = 4$ ．

(1)、证明： $△ A M B$ 是直角三角形；

(2)、是否存在点M使得平面ADM与平面DME的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．

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17. 已知 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上下顶点，右焦点 $F (1 ， 0)$ ， $M$ 为椭圆 $C$ 上一动点，直线 $M B_{1}$ ， $M B_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{3}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M$ 作椭圆 $C$ 的切线 $l$ 与直线 $y = 2$ 相交于点 $N$ ，求 $M$ 在第一象限时， $△ O M N$ 面积的最小值.

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18. 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为 $θ$ 的笔直公路，其中 $c o s θ = \frac{2}{7}$ .摩天轮近似为一个圆，其半径为 $35 m$ ，圆心 $O$ 到地面的距离为 $40 m$ ，其最高点为 $A$ . $A$ 点正下方的地面 $B$ 点与公路的距离为 $70 m$ .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）

(1)、如图所示，甲位于摩天轮的 $A$ 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？

(2)、当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？

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19. 设函数 $f (x) = x^{3} + a x + b ， a ， b \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，若直线 $y = 3 x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，求 $b$ 的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty ， - 2]$ 上严格增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $x_{1} ， x_{2} \in (m ， n)$ 且满足 $f (x_{1}) = f (n) ， f (x_{2}) = f (m)$ ，对任意的 $x \in [m ， n]$ ，恒有 $f (m) \leq f (x) \leq f (n)$ ，求证：对任意的 $a ， b \in R$ ，当 $a \neq b$ 时， $m - n = 2 (x_{1} - x_{2})$ .

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$α$	$0.100$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

	满意	不满意	合计
本省	$90$	$10$	$100$
外省	$75$	$25$	$100$
合计	$165$	$35$	$200$