浙江省名校协作体2023-2024学年高二下学期2月月考数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

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一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - 2$ C、 $y = - 1$ D、 $y = - 2$

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2. 数列1， $\frac{5}{3}$ ， $\frac{5}{2}$ ， $\frac{17}{5}$ ， …的通项公式可能是（）

A、 $a_{n} = \frac{n^{2} + 1}{n + 1}$ B、 $a_{n} = \frac{n + 1}{n^{2} + 1}$ C、 $a_{n} = \frac{n^{2}}{2 n - 1}$ D、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{n^{2}}$

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3. 已知直线 $l_{1}$ ： $m x + y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $3 x + (m + 2) y + 3 m = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则m的值为（）

A、1 B、－3 C、1或－3 D、－1或3

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4. 已知两条直线m，n，两个平面 $α$ ， $β$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ n$ 且 $n \subset α$ ，则 $m ∥ α$ B、若 $m ∥ α$ 且 $n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ C、若 $m ⊥ α$ 且 $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β$ 且 $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$

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5. 已知点 $P (- 4 ， 2)$ 和圆Q： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ ，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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6. 江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽 $A B = 20 \sqrt{5}$ 米，若水面上升5米，则水面宽为（）

A、 $10 \sqrt{2}$ 米 B、 $15 \sqrt{2}$ 米 C、 $12 \sqrt{3}$ 米 D、30米

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7. 在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = A A_{1} = \frac{1}{2} A B = 3$ ， $A_{1} B ∩ A B_{1} = O$ ，则异面直线OC与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \cdot \cdot \cdot = A_{n - 1} A_{n} = 1$ ，记 $O A_{1}$ ， $O A_{2}$ ， …， $O A_{n}$ 的长度构成的数列为 ${a_{n}}$ ，则 $\sum_{i = 1} \frac{1}{a_{i}}$ 的整数部分是（）

A、87 B、88 C、89 D、90

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．

9. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 4 ， 0)$ ，则下列正确的是（）

A、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(- 1 ， 2 ， 0)$

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10. 若正项数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，公比为q，其前n项和为 $S_{n}$ ，则下列正确的是（）

A、数列 ${\frac{1}{a_{n}^{2}}}$ 是等比数列 B、数列 ${l g a_{n}}$ 是等差数列 C、若 ${a_{n}}$ 是递减数列，则 $0 < q < 1$ D、若 $S_{n} = 3^{n - 1} - r$ ，则 $r = 1$

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11. 如图所示，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，则（）

A、A，B两点的纵坐标之和为常数 B、在直线l上存在点P，使 $∠ A P B > 90 °$ C、A，O， $B_{1}$ 三点共线 D、在直线l上存在点P，使得 $△ A P B$ 的重心在抛物线上

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12. 在正三棱锥 $S - A B C$ 中，SA，SB，SC两两垂直， $A B = 2$ ，点M是侧棱SC的中点，AC在平面 $α$ 内，记直线BM与平面 $α$ 所成角为 $θ$ ，则当该三棱锥绕AC旋转时 $θ$ 的取值可能是（）

A、53° B、60° C、75° D、89°

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 经过 $A (0 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 0)$ 两点的直线的方向向量为 $(1 ， k)$ ，则 $k =$ ．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 63$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ，若 $T_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项积，当 $T_{n}$ 取最大值时， $n =$ ．

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15. 已知某圆锥底面直径与母线长之比为 $6 ： 5$ ，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于．

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16. 已知双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，两顶点为A，B，双曲线C上一点P满足 $| P A | = 3 | P B |$ ，则 $t a n ∠ A P B =$ ．

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四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{7} = 49$ ， $a_{5} = 9$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、若 $S_{3}$ 、 $S_{11} - S_{8}$ 、 $S_{k}$ 成等比数列，求k的值．

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18. 已知圆C的圆心在直线 $y = 2 x + 5$ 上，且过 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (2 ， 6)$ 两点．

(1)、求圆C的方程；

(2)、已知l： $(m + 1) x + (3 m - 1) y - 5 (m + 1) = 0$ ，若直线l与圆C相切，求实数m的值．

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19. 如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面 $△ A B C$ 是正三角形， $A A_{1} = A B = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C$ ，点N是棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A N = \sqrt{13}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ A A_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A N$ 与平面ANB的夹角的余弦值．

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20. 已知点F为抛物线C： $y^{2} = 2 p x (0 < p < 1)$ 的焦点，点 $A (x_{0} ， 1)$ 在抛物线C上，且 $| A F | = \frac{5}{4}$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线l与抛物线C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，求证：直线l过定点．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $\frac{a_{n + 1} - 1}{a_{n}} = p a_{n} + {(- 1)}^{p} (n \in N^{*})$ ．

(1)、若 $p = 0$ ，求数列 ${3^{n} \cdot a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $p = 1$ ，设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 1$ ．

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22. 已知离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ 的双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过椭圆 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右顶点A，B．

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} > 0 ， y_{0} > 0)$ 是双曲线 $C_{1}$ 上一点，直线AP，BP与椭圆 $C_{2}$ 分别交于D，E，设直线DE与x轴交于 $Q (x_{Q} ， 0)$ ，且 $x_{Q} = λ^{2} x_{0} (0 < λ < \frac{1}{2})$ ，记 $△ B D P$ 与 $△ A B D$ 的外接圆的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2}}}$ 的取值范围．

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