江苏省泰州市2024届高三2月调研测试数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 有一组样本数据9，4，5，7，8，2，则样本中位数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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2. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则 $m + n = p + q$ 是 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分不必要条件

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3. 每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取100袋食盐，检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布 $N (0 ， σ^{2})$ ， $P (X \geq 2) = 0.02$ ，则X介于－2~2的食盐袋数大约为（）

A、4 B、48 C、50 D、96

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4. 若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为60°的两个单位向量，则向量 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{a x} s i n x}{1 + e^{x}}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，则实数 $a =$ （）

A、－1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. 若复数z满足 $| z - 1 | = | z + i |$ ，则 $| z - 1 |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 上，过点P作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若 $x_{0} > 1$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \frac{21}{32}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{10}$ ， $(\sqrt{3} - 1) s i n C = \sqrt{2} t a n A s i n (C + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $c < b < \sqrt{2} c$ B、 $\sqrt{2} c < b < \sqrt{3} c$ C、 $\sqrt{3} c < b < 2 c$ D、 $b > 2 c$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + 2 s i n^{2} x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- π ， π)$ 上恰有3个零点

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10. 已知正方形ABCD的边长为4，点E在线段AB上， $B E = 1$ ．沿DE将 $△ A D E$ 折起，使点A翻折至平面BCDE外的点P，则（）

A、存在点P，使得 $P E ⊥ D C$ B、存在点P，使得直线 $B C ∥$ 平面PDE C、不存在点P，使得 $P C ⊥ D E$ D、不存在点P，使得四棱锥 $P - B C D E$ 的体积为8

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11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ， $C_{n}$ ，则（）

A、 $P (B_{1}) = \frac{5}{9}$ B、 $P (C_{3} | A_{1}) = \frac{4}{27}$ C、 $P (B_{1} C_{2}) = \frac{2}{81}$ D、 $P (A_{1} + B_{2}) = \frac{55}{81}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知集合 $A = {(x ， y) | x + y = 2}$ ， $B = {(x ， y) | {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1}$ ，则 $A ∩ B$ 中元素的个数为．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，点P在椭圆上，PF的中点为Q，若 $O Q ⊥ P F$ ， $P F = \sqrt{3} O P$ ，则椭圆离心率的值为．

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14. 将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上n个颜色各不相同的点经过k次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”，并将所有满足“条件T”的图形个数记为 $T (n ， k)$ ，则 $T (5 ， 4) =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = x^{4} + a x^{3}$ ， $x \in R$ ．

(1)、若函数在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线过原点，求实数a的值；

(2)、若 $a = - 4$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 4]$ 上的最大值．

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16. 某游戏设置了两套规则，规则A：抛掷一颗骰子n次，若n次结果向上的点数之和大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷．

(1)、若执行规则A，求抛掷次数恰为1次的概率；

(2)、若执行规则B，证明：抛掷次数的数学期望不大于3．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．

(1)、证明：直线 $M N ∥$ 平面PAD；

(2)、当二面角 $P - A D - C$ 为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．

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18. 已知抛物线E： $x^{2} = 2 y$ ，焦点为F，过F作y轴的垂线 $l_{0}$ ，点P在x轴下方，过点P作抛物线E的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交x轴于A，B两点， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交 $l_{0}$ 于C，D两点．

(1)、若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与抛物线E相切于C，D两点，求点P的坐标；

(2)、证明： $△ P A B$ 的外接圆过定点；

(3)、求 $△ P C D$ 面积S的最小值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{2 a_{n + 1} - 1}{a_{n}} + \frac{a_{n} + 1}{2 a_{n + 1}} = 2$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、已知 $a_{n} > 0$ ，
①若 $a_{3} = 1$ ，求 $a_{1}$ ；
②若关于m的不等式 $a_{m} < 1$ 的解集为M，集合M中的最小元素为8，求 $a_{1}$ 的取值范围；

(2)、若 $a_{1} = \frac{1}{11}$ ，是否存在正整数 $k (k \geq 2)$ ，使得 $a_{k} = a_{1}$ ，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．

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