吉林省四校2023-2024学年高一下学期期初联考数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：开学考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{2} < 2^{x} < 2} ， B = {x ∣ y l g (x + 1)}$ ，则 $A ∪ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $\emptyset$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (- 1 ， 1)$

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2. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} f (f (x + 5)) ， 5 < x < 10 ， \\ 2 x - 15 ， x \geq 10 ， \end{array}$ 则 $f (9)$ 的值为（）

A、9 B、11 C、28 D、14

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3. “关于 $x$ 的不等式 $(2 a - 3) x^{2} - (2 a - 3) x + 4 \geq 0$ 的解集为 $R$ ”是“ $\frac{3}{2} < a < 9$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{1 + l n | x |}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $a = l o g_{2} 6 ， b = l o g_{3} 12 ， c = 2^{0.6}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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6. 已知函数 $f (x) = M c o s (ω x + φ) (M > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中 $A (\frac{π}{24} ， 0)$ ， $B (\frac{7 π}{24} ， 0) ， C (0 ， 2)$ ，现先将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ ，再向左平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (- \frac{5 π}{144}) =$ （）

A、 $\sqrt{2} - \sqrt{6}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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7. 已知 $f (x) ， g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且满足 $f (x) + g (x) = 2^{x}$ ．若 $g (f (x) - a) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 上单调递增，且在 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ 上有且仅有1个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{2}{9} ， \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{2}{9} ， \frac{2}{3}) ∪ (\frac{8}{9} ， \frac{14}{9})$ C、 $(\frac{2}{9} ， \frac{2}{3}) ∪ [\frac{8}{9} ， \frac{14}{9})$ D、 $(\frac{2}{9} ， \frac{2}{3}) ∪ (\frac{8}{9} ， \frac{14}{9}]$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列命题为真命题的有（）

A、若 $a ， b \in R$ ，则 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ B、若 $a > b > 0 ， m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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10. 对于函数 $f (x) = t a n (2 x - \frac{π}{4})$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的是最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象的对称中心是 $(\frac{k π}{4} + \frac{π}{8} ， 0) (k \in Z)$ C、函数 $y = | f (x) |$ 的图象的对称轴是 $x = \frac{k π}{4} + \frac{π}{8} (k \in Z)$ D、不等式 $f (x) \geq \sqrt{3}$ 的解集是 ${x | Unsupported character k π + \frac{7 π}{24} \leq x < k π + \frac{3 π}{8} ， k \in Z}$

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11. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (1 + x) = - f (1 - x)$ ，且 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ，若 $f (0) + f (3) = 6$ ，则以下正确的是（）

A、 $f (x + 4) = f (x)$ B、 $a = - 2$ C、 $b = 2$ D、 $f (\frac{17}{2}) = 2$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知幂函数 $f (x) = (3 m^{2} - 2 m) x^{\frac{1}{2} - m}$ 满足 $f (2) < f (3)$ ．则 $m =$ ．

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13. 已知 $x > 0 ， y > 0 ， x + y + 3 = x y$ ，且不等式 $(x + y)^{2} - a (x + y) + 1 \geq 0$ 恒成立．则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = (| l o g_{2} x | - m) (\frac{15}{7} - m - \frac{4 x}{7}) (0 < x \leq 8)$ 恰有3个零点，则m的取值范围是．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 求下列各式的值．

(1)、 $\sqrt{{(π - \frac{13}{4})}^{2}} + {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} + (- 8)^{\frac{2}{3}} + 8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{(π - 2)^{3}}$ ；

(2)、 $l o g_{\sqrt{3}} 9 + \frac{1}{2} l g 25 + l g 2 - l o g_{4} 9 \times l o g_{3} 8 + 2^{(l o g_{3} 3 - 1)} - l n \sqrt[3]{e}$

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16. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} ω x + 2 \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + a (ω > 0 ， a \in R)$ ．已知 $f (x)$ 的最大值为1，且 $f (x)$ 的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 的单调递增区间；

(3)、将函数 $f (x)$ 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上的最小值为 $g (0)$ ，求 $m$ 的最大值．

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17. 已知 $α \in (- \frac{π}{2} ， 0) ， β \in (\frac{π}{2} ， π)$ 且 $s i n α = - \frac{\sqrt{2}}{10} ， t a n (β - α) = - \frac{2}{11}$ ．

(1)、求 $c o s (2 α + \frac{π}{4})$ ；

(2)、求角 $α + 2 β$ 的大小．

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18. 心理学家根据高中生心理发展规律，对离中生的学习行为进行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用 $f (x)$ 表示学生掌握和接受概念的能力（ $f (x)$ 的值越大，表示接受能力越强）， $x$ 表示提出和讲授概念的时间（单位： $m i n$ ），满足以下关系： $f (x) = {\begin{array}{l} - 0.1 x^{2} + 2.8 x + 38 ， 0 < x \leq 10 ， \\ 56 ， 10 < x \leq 20 ， \\ - 2 x + 96 ， 20 < x \leq 40 . \end{array}$

(1)、上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？

(2)、有一道数学难题，需要54的接受能力及15min的讲授时间：老师能否及时在学生处干所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} x + 1 ， g (x) = 2^{x} - 2$ ．

(1)、求方程 $| f (x) | = | g (x) |$ 的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）；

(2)、求函数 $F (x) = [f (x)]^{2} - a f (x^{2}) + 2$ 在区间［2，4]上的最大值；

(3)、若函数 $h (x) = g (f (x))$ ，且函数 $y = \frac{1}{2} h (| g (x) |) - 1$ 的图象与函数 $y = 4 b - \frac{3 b + 2}{| g (x) |} - 1$ 的图象有3个不同的交点，求实数b的取值范围．

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