四川省攀枝花市2024届高三上学期1月第二次统一考试理科数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设复数z满足 $z (1 + 2 i) = i^{3}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{2 + i}{5}$ B、 $\frac{- 2 - i}{5}$ C、 $\frac{1 + 2 i}{5}$ D、 $\frac{1 - 2 i}{5}$

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2. 已知集合 $A = {1 ， a^{2}} ， B = {1 ， 4 ， a}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数a组成的集合为（）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 2}$ B、 ${- 2 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 2}$

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3. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔 $(F l o r e n c e N i g h t i n g a l e)$ 设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误的是（）

A、2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加 B、2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多 C、2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D、2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

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4. 已知命题“ $\exists x_{0} \in R$ ，使得曲线 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + 3 x$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线斜率小于等于零”是假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 3$ B、 $a < - 3$ 或 $a > 3$ C、 $- 3 < a < 3$ D、 $- 3 \leq a \leq 3$

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5. 若 $a = (\sqrt{3})^{\frac{2}{3}} ， b = l o g_{3} e ， c = {(\frac{1}{e})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $k = 4$ ，则输出的S是（）

A、7 B、13 C、15 D、31

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7. 若角 $θ$ 的终边经过点 $(- 1 ， 2)$ ，则 $s i n^{2} θ + \frac{1}{2} s i n 2 θ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $- \frac{6}{5}$

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8. 现安排编号分别为1，2，3，4的四位社区志愿者去做三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一项工作，且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作，则不同的安排方法数为（）

A、12 B、18 C、24 D、36

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9. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | Unsupported character < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到的函数图象解析式为（）

A、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = c o s 2 x$ C、 $y = s i n 2 x$ D、 $y = s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$

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10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为 $B C ， C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，下列结论中正确的是（）

A、 $D D_{1} ⊥ A F$ B、 $C_{1} G ∥$ 平面 $A E F$ C、直线 $C_{1} G$ 与直线 $A E$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$ D、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x) = f (x + 4) + f (2)$ ，若函数 $y = f (x + 3)$ 的图象关于直线 $x = - 3$ 对称，且对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 2]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{2} - x_{1}) (f (x_{2}) - f (x_{1})) > 0$ ，给出如下结论：① $f (x)$ 是偶函数；② $f (2) = 0$ ；③ $f (x)$ 是周期为4的周期函数；④ $f (3) < f (- 4)$ ．其中正确的结论个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 若关于x的方程 $x (a e^{x} + x) = e^{2 x}$ 存在三个不等的实数根．则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e} - e)$ B、 $(\frac{1}{e} - e ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， e - \frac{1}{e})$ D、 $(e - \frac{1}{e} ， + \infty)$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 以茎叶图记录了甲、乙两组学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），则甲、乙两组数据的中位数之和为．

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14. ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - 2 x^{2})}^{5}$ 的展开式中常数项是．（以数字作答）

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15. $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a} - \sqrt{3} c s i n B = a$ ，则 $B =$ ．

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16. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为6，高为3，则该正四棱锥的一个侧面所在的平面截其外接球所得截面的面积为．

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三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分．

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - \frac{4}{3} ， a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{1 - 3 a_{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明： ${\frac{1}{a_{n}} + 1}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n}} + n}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 情怀激荡，火热出游——2023年中秋国庆“双节”联动，旅游景区人头攒动，文化和旅游市场恢复势头强劲，行业信心持续有力提振．假期8天中，某景区一纪念品超市随机调查了200名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到下表：
消费金额（元）
$[0 ， 30)$
$[30 ， 60)$
$[60 ， 90)$
$[90 ， 120)$
$[120 ， 150)$
$[150 ， 180)$
人数
20
30
40
50
40
20
参考公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.01
0.005
0.001
$k_{0}$
6.635
7.879
10.828

(1)、估计假期8天中游客到该超市购买纪念品金额的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断能否有99.5%的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关．

不少于120元
少于120元
总计
年龄不小于50岁
80
年龄小于50岁
36
总计

(3)、从上述“到该超市购买纪念品不少于120元”的顾客样本中，随机抽取2人进行购物原因调查，设其中“年龄不小于50岁”的顾客人数为X ，求X的分布列和期望．

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19. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形，四边形 $C D E F$ 是矩形，且平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B C D ， D E = 3 ， C D = A D ， ∠ D A B = ∠ A B C = 60 °$ ， M，N分别是 $A E ， B D$ 的中点．

(1)、证明： $B D ⊥ A E$ ；

(2)、若点M到平面 $C D E F$ 的距离是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $E N$ 与平面 $C M N$ 所成的线面角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点是F ，上顶点A是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点，直线 $A F$ 的斜率为 $- \frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + m (m \neq 1)$ 与椭圆C交于P、Q两点， $P Q$ 的中点为M ，当 $∠ P M A = 2 ∠ P Q A$ 时，证明：直线 $l$ 过定点．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x}{2 + c o s x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若不等式 $f (2 x) \leq a x (x \geq 0)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知曲线C的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s θ$ ，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{array}$ （t为参数）．

(1)、求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

(2)、已知点 $M (1 ， 0)$ ，直线l与曲线C交于A、B两点，求 $| | M A | - | M B | |$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 a | + | x - a |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) \geq 4$ ；

(2)、设 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $f (x)$ 的最小值为t ．若 $t + 3 b = 3$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值．

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消费金额（元）	$[0 ， 30)$	$[30 ， 60)$	$[60 ， 90)$	$[90 ， 120)$	$[120 ， 150)$	$[150 ， 180)$
人数	20	30	40	50	40	20

	不少于120元	少于120元	总计
年龄不小于50岁		80
年龄小于50岁	36
总计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	6.635	7.879	10.828