浙江省湖州市2023-2024学年高三上学期1月第一次质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-03-07 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $2 - i$

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {y | y = l o g_{2} x ， x > 1} ， B = {y | y = {(\frac{1}{2})}^{x} ， x > 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${y | 0 < y < 1}$ B、 ${y | 0 < y < \frac{1}{2}}$ C、 ${y | \frac{1}{2} < y < 1}$ D、 $\emptyset$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1 ， 0)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0 ， - 1 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0 ， - 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 0 ， \frac{1}{2})$

查看试题解析
4. 设 $5 π < θ < 6 π$ ， $c o s \frac{θ}{2} = a$ ，则 $s i n \frac{θ}{4}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{1 + a}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{1 - a}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{1 + a}}{2}$ D、 $- \sqrt{\frac{1 - a}{2}}$

查看试题解析
5. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} ： S_{5} = 1 ： 2$ ，则 $S_{15} ： S_{5}$ 等于（）

A、 $1 ： 3$ B、 $1 ： 2$ C、 $2 ： 3$ D、 $3 ： 4$

查看试题解析
6. 在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为 $R_{0}$ ， 1个感染者平均会接触到 $N$ 个新人 $(N ⩾ R_{0})$ ，这 $N$ 人中有 $V$ 个人接种过疫苗（ $\frac{V}{N}$ 称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为 $\frac{R_{0}}{N} (N - V)$ ．已知某病毒在某地的基本传染数 $R_{0} = l o g_{2} (4 \sqrt{2})$ ，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）

A、 $60 %$ B、 $70 %$ C、 $80 %$ D、 $90 %$

查看试题解析
7. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，棱长为2的侧棱 $P D$ 垂直底面边长为2的正方形 $A B C D$ ， $M$ 为棱 $P D$ 的中点，过直线 $B M$ 的平面 $α$ 分别与侧棱 $P A$ 、 $P C$ 相交于点 $E$ 、 $F$ ，当 $P E = P F$ 时，截面 $M E B F$ 的面积为（）

A、2 B、3 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
8. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 具有相同的左、右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为它们在第一象限的交点，动点 $Q$ 在曲线 $C_{1}$ 上，若记曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，满足 $e_{1} \cdot e_{2} = 1$ ，且直线 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴的交点的坐标为 $(0 ， \frac{3 a_{2}}{2})$ ，则 $∠ F_{1} Q F_{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 设函数 $f (x) = c o s (x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{8}{3} π$ 对称 C、 $y = f (x + π)$ 的一个零点为 $x = \frac{π}{6}$ D、 $y = f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递减

查看试题解析
10. 18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布 $B (n ， p)$ ，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其密度函数 $φ_{μ ， σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ ， $x \in R$ .任意正态分布 $X \sim B (μ ， σ^{2})$ ，可通过变换 $Z = \frac{X - μ}{σ}$ 转化为标准正态分布（ $μ = 0$ 且 $σ = 1$ ）.当 $Z ∼ N (0 ， 1)$ 时，对任意实数x ，记 $t (x) = P (Z < x)$ ，则（）

A、 $t (- x) = 1 - t (x)$ B、当 $x > 0$ 时， $P (Z < x) = 1 - 2 t (x)$ C、随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，当 $μ$ 减小， $σ$ 增大时，概率 $P (| X - μ | < σ)$ 保持不变 D、随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，当 $μ$ ， $σ$ 都增大时，概率 $P (| X - μ | < σ)$ 单调增大

查看试题解析
11. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，直线 $A B$ 经过点 $F$ 交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（）

A、以 $A B$ 为直径的圆与抛物线的准线相切 B、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则直线 $A B$ 的斜率 $k = 3$ C、弦 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹为一条抛物线，其方程为 $y^{2} = 2 p x - p^{2}$ D、若 $p = 4$ ，则 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值为18

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $g (x) + f (- x + 2) = 1$ ， $f (x) - g (x + 1) = 1$ ，若 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，则以下说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 为奇函数 B、 $g (- \frac{3}{2}) = 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = f (x + 4)$ D、若 $f (x)$ 的值域为 $[m ， M]$ ，则 $f (x) + g (x) = m + M - 1$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 ${a_{n} + 1}$ 也是等比数列，则 $S_{n}$ 等于．

查看试题解析
14. 已知 ${(1 + x)}^{n}$ 的展开式中，唯有 $x^{3}$ 的系数最大，则 ${(1 + x)}^{n}$ 的系数和为．

查看试题解析
15. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自 $A$ 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 $A_{1}$ 点的最短路线的长为.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} - x^{2} - 2 x (x ⩽ 1) \\ 2 x - 3 (x > 1) \end{array}$ ，当 $x \in (- \infty ， m]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $x \in (- \infty ， 1 - \frac{1}{e}]$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n} ， T_{n} = \frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + ⋯ + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 已知 $\vec{a} = (\sin x ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos x ， \cos^{2} x)$ ，且 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求 $y = f (x)$ 的单调区间.

(2)、在 $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，当 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 是边长为 $2$ 的正三角形且与底面垂直，底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ A B C = 60 °$ ， $M$ 为棱 $P C$ 上的动点，且 $\frac{P M}{P C} = λ (λ \in [0 ， 1])$ ．

(1)、求证： $△ P B C$ 为直角三角形；

(2)、试确定 $λ$ 的值，使得平面 $P A D$ 与平面 $A D M$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

查看试题解析
20. 为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为 $\frac{2}{5}$ ，高一年级胜高三年级的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每轮对抗赛的成绩互不影响．

(1)、若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

(2)、若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．

查看试题解析
21. 已知直线 $l ： a x - y + 1 = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 4 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，过点 $Q (5 ， - 1)$ 的直线 $m$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、若直线 $m$ 垂直平分弦 $A B$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、已知点 $S (- 6 ， - 2)$ ，在直线 $S C$ 上（ $C$ 为圆心），存在定点 $T$ （异于点 $S$ ），满足：对于圆 $C$ 上任一点 $P$ ，都有 $\frac{| P S |}{| P T |}$ 为同一常数，试求所有满足条件的点 $T$ 的坐标及该常数.

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = a e^{x} + 2 x + a b + 4 (a ， b \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = f (x) - a b$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，求证： $\frac{f^{'} (x_{1})}{f^{'} (x_{2})} > - 1$ ．

查看试题解析