2024年北师大版数学七（下）期中专项复习2 同底数幂的乘除法

试卷更新日期：2024-03-06 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{7} = a^{28}$ B、 ${(a^{3})}^{3} = a^{9}$ C、 ${(a^{3} b^{2})}^{3} = a^{6} b^{5}$ D、 $b^{2} + b^{2} = b^{4}$

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2. 下列计算结果正确的是（）

A、 $(m^{3})^{2} = m^{5}$ B、 $m^{3} \cdot m^{3} = m^{9}$ C、 $(- \frac{1}{2} m)^{2} = - \frac{1}{4} m^{2}$ D、 $(m n)^{2} = m^{2} n^{2}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $(- 3 x y)^{2} = 3 x^{2} y^{2}$ B、 $3 x^{2} + 4 x^{2} = 7 x^{4}$ C、 $t (3 t^{2} - t + 1) = 3 t^{3} - t^{2} + 1$ D、 $(- a^{3})^{4} \div (- a^{4})^{3} = - 1$

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4. 若a^m＝12，aⁿ＝3，则a^m^-ⁿ等于（）

A、4 B、9 C、15 D、36

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5. 计算 $a^{4} \cdot a^{2} \div a^{2}$ 等于（）

A、 $a^{3}$ B、 $a^{2}$ C、 $a^{4}$ D、 $a^{5}$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ B、 ${(a b^{2})}^{3} = a b^{6}$ C、 ${(a^{3})}^{2} \cdot a^{4} = a^{9}$ D、 ${(a^{5})}^{2} = a^{10}$

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7. 下列计算正确的是（）

A、 $a + 2 a = 3 a^{2}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$

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8. 下列计算正确的是（）

A、a³·a³＝a⁵ B、（π－3.14）⁰＝1 C、（ $\frac{1}{2}$ ）^－1＝－2 D、x²⁰÷x²＝x¹⁰

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9. 下列运算正确的是（）

A、a⁴•a⁵＝a²⁰ B、a³•a³•a³＝3a³ C、a⁴＋a⁵＝a⁹ D、（-a³）⁴＝a¹²

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10. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $(a b)^{2} = a b^{2}$ C、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

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二、填空题

11. $2^{m} = 3$ ， $2^{n} = 4$ ，则 $2^{m - n}$ 等于．

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12. 计算： $x^{8} \div x^{2} =$ ．

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13. 计算：2x²y•（-xy）³＝．

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14. 已知8•（2^m）ⁿ＝64，|n|＝1，则m＝．

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15. 若 $a^{x} = 3 ， a^{y} = 2$ ，则 $a^{3 x + y}$ 的值为．

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三、计算题

16. 计算：

(1)、 $| - 3 | - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(3.14 - π)}^{0}$

(2)、 ${(- 3 m^{2} n)}^{2} \cdot (- 2 m^{2}) \div 6 m n^{2}$

(3)、 $2 x (x - \frac{1}{2} y) - (x + 2 y) (x - y)$

(4)、 ${0.125}^{2020} \times 8^{2021} + 101 \times 99$ （用简便方法）

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四、解答题

17. 阅读下面的文字，回答后面的问题：求5+5²+5³+…+5¹⁰⁰的值．
解：令S=5+5²+5³+…+5¹⁰⁰（1），将等式两边同时乘以5得到：5S=5²+5³+5⁴+…+5¹⁰¹（2），
（2）﹣（1）得：4S=5¹⁰¹﹣5，∴ $\frac{5^{101} - 5}{4}$
问题：

(1)、求2+2²+2³+…+2¹⁰⁰的值；

(2)、求4+12+36+…+4×3⁴⁰的值．

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18. 阅读理解并解答：
为了求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹的值，可令S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹ ，
则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰ ，因此2S﹣S=（2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰）﹣（1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁹）=2²⁰¹⁰﹣1．
所以：S=2²⁰¹⁰﹣1．即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹=2²⁰¹⁰﹣1．
请依照此法，求：1+4+4²+4³+4⁴+…+4²⁰¹⁰的值．

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19. 根据已知求值．
（1）已知3×9^m×27^m=3¹⁶ ，求m的值．
（2）已知a^m=2，aⁿ=5，求a^2m^﹣3n的值．
（3）已知2x+5y﹣3=0，求4^x•32^y的值．

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五、实践探究题

20. 请阅读材料：
①一般地，n个相同的因数a相乘：记为aⁿ ，如2³=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为 $\log_{2} 8$ （即 $\log_{2} 8$ =3）．
②一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为 $\log_{a} b$ （即 $\log_{a} b$ =n），如3⁴=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为 $\log_{3} 81$ （即 $\log_{3} 81$ =4）．

(1)、计算下列各对数的值：
log₂4 ； log₂16= ； log₂64= ．

(2)、观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是，那么log₂4、log₂16、log₂64存在的关系式是

(3)、由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log_aM+log_aN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

(4)、请你运用幂的运算法则a^m•aⁿ=a^m+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论．

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六、综合题

21. 定义一种幂的新运算： $x^{a} \oplus x^{b} = x^{a b} + x^{a + b}$ ，请利用这种运算规则解决下列问题：

(1)、求 $2^{2} \oplus 2^{3}$ 的值；

(2)、若 $2^{p} = 3$ ， $2^{q} = 5$ ， $3^{q} = 6$ ，求 $2^{p} \oplus 2^{q}$ 的值；

(3)、若运算 $9 \oplus 3^{2 t}$ 的结果为810，则t的值是多少？

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22. 已知 $A = {(x + y)}^{2} - {(x - y)}^{2}$ ， $B = (2 x^{2} y + 5 x y^{2}) \div x y - 4 x y$ ．

(1)、求 $A$ 和 $B$ ；

(2)、若变量 $x$ ， $y$ 满足 $A + B = 3$ ，求 $y$ 与 $x$ 的关系式；

(3)、在（2）的条件下，求 $4^{x} \cdot 3 2^{y}$ 的值．

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23. “已知a^m=4，a^m+n=20，求an的值．”这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得： a^m+n=a^maⁿ ，所以20=4aⁿ ，所以aⁿ=5．
请利用这样的思考方法解决下列问题：
已知a^m=3，aⁿ=5，求下列代数的值：

(1)、a^2m+n；

(2)、a^m-3n ．

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