2024年浙教版数学八年级下学期第六章反比例函数单元测试（培优卷）

试卷更新日期：2024-03-06 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知函数 $y = (m - 2) x^{m^{2} - 5}$ 是反比例函数，则 $m$ 的值为（ )

A、2 B、-2 C、2或-2 D、任意实数

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2. 反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象一定经过的点是（）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(- 1 ， - 4)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(2 ， 2)$

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3. 用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P=I²R，下面说法正确的是（）

A、P为定值，I与R成反比例 B、P为定值，I²与R成反比例 C、P为定值，I与R成正比例 D、P为定值，I²与R成正比例

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4. 在同一直角坐标系中，函数 $y = - k (x - 1)$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知反比例函数y＝﹣ $\frac{2}{x}$ ，下列结论不正确的是（）

A、图象必经过点(﹣1，2) B、y随x的增大而增大 C、图象在第二、四象限内 D、若x＞1，则﹣2＜y＜0

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6. 若点A(x₁，-2)，B(x₂，1)，C(x₃，2)都在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，则x₁，x₂，x₂的大小关系是（）

A、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{3} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$

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7. 如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作 $A E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，交 $O B$ 于点 $F$ ．设点A的横坐标为 $m$ ．若 $S_{△ O A F} + S_{四边形 E F B C} = 4$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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9. 如图，菱形 $A B C D$ 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 $A C 、 B D$ 交于原点O， $D F ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点G，反比例函数 $y = \frac{4 \sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 的图象经过线段 $D C$ 的中点E，若 $B D = 8$ ，则 $A G$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的顶点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ， $x > 0$ ）的图象与正方形 $O A B C$ 的两边 $A B$ ， $B C$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ， $N D ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，连接 $O M$ ， $O N$ ， $M N$ ，下列结论：① $△ O C N ≌ △ O A M$ ；②四边形 $D A M N$ 与 $△ O M N$ 的面积相等；③ $O N = M N$ ；④若 $∠ M O N = 45 °$ ， $M N = 2$ ，则点 $C$ 的坐标为 $(0 ， \sqrt{2} + 1)$ ．其中正确的是（）

A、①② B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 若点 $A (a ， b)$ 在反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ 图像上，则代数式 $a b - 1 =$ ．

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12. 已知 $f (x) = x^{- 1}$ ，那么 $f (\sqrt{3}) =$ ．

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13. 把 $- x y = \sqrt{2} + 1$ 化为 $y = \frac{k}{x}$ 的形式为比例系数为自变量 $x$ 的取值范围是.

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14. 反比例函数 $y = \frac{m + 1}{x}$ 的图象在第一、三象限，则 $m$ 的取值范围是．

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15. 若点 $A (m + 2 ， y_{1})$ ， $B (m - 2 ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则m的取值范围是．

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三、解答题（共8题，共66分）

16. 已知直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $A$ 、 $C$ 两点， $P$ 是该直线上在第一象限内的一点， $P B ⊥ x$ 轴， $B$ 为垂足， $S_{△ A B P} = 9$ ．

(1)、求 $P$ 点的坐标；

(2)、求过 $P$ 点的反比例函数解析式．

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17. 某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y= $\frac{k v + 2.5}{x}$ （k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．

(1)、求k的值．

(2)、如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？

(3)、现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？

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18. 已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长 $a$ 米，另一边长加长 $b$ 米，可得 $a$ 与 $b$ 之间的函数关系式 $b = \frac{12}{a + 3} - 2.$ 某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数 $y = \frac{12}{x + 3} - 2$ ，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：

(1)、类比反比例函数可知，函数 $y = \frac{12}{x + 3} - 2$ 的自变量 $x$ 的取值范围是，这个函数值 $y$ 的取值范围是．

(2)、“数学兴趣小组”进一步思考函数 $y = | \frac{12}{x + 3} - 2 |$ 的图象和性质，请根据函数 $y = \frac{12}{x + 3} - 2$ 的图象，画出函数 $y = | \frac{12}{x + 3} - 2 |$ 的图象；

(3)、结合函数 $y = | \frac{12}{x + 3} - 2 |$ 的图象解答下列问题：
①求出方程 $| \frac{12}{x + 3} - 2 | = 0$ 的根；

②如果方程 $| \frac{12}{x + 3} - 2 | = a$ 有2个实数根，请直接写出 $a$ 的取值范围．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，BA＝3，BC＝5，有一反比例函数图象刚好过点B．

(1)、分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．

(2)、动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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20. 为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知某种药物在燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量 $y (m g)$ 与燃烧时间 $x (m i n)$ 成正比例；一次性燃烧完以后，y与x成反比例（如图所示）．在药物燃烧阶段，实验测得在燃烧5分钟后，此时教室内每立方米空气含药量为 $\frac{7}{2} m g$ ．

(1)、若一次性燃烧完药物需10分钟．
①分别求出药物燃烧时及一次性燃烧完以后y关于x的函数表达式．
②当每立方米空气中的含药量低于 $\frac{7}{5} m g$ 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时间段学生不能停留在教室里？

(2)、已知室内每立方米空气中的含药量不低于 $0.7 m g$ 时，才能有效消毒，如果有效消毒时间要持续120分钟，问要一次性燃烧完这种药物需多长时间？

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21. 如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 $y = \frac{27}{x}$ 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

(1)、求点C的坐标；

(2)、如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点 A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点 D'的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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22. 如图，已知A（－3，2），B（n ，－3）是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象的两个交点．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；

(3)、求△AOB的面积；

(4)、在x轴上是否存在一点P ，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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