2024年浙教版数学八年级下学期第五章特殊平行四边形单元测试（培优卷）

试卷更新日期：2024-03-06 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD 于点E，F，则阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列说法中，错误的是（）

A、有一个角是直角的四边形是矩形 B、四个角都相等的四边形是矩形 C、对角线相等的平行四边形是矩形 D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形

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3. 如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，若AC=6， BD=8，则BE的长是（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{48}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、4

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4. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结BD，AD，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（）

A、∠ABC=∠ACB B、AB=AD C、∠BAC=∠DAC D、AC⊥BD

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5. 已知，O是矩形ABCD 对角线的交点，作 DE∥AC，AE∥BD，连结BE.有下列说法：①四边形DEAO为菱形；②AE=AB；③∠BAE=120°；④若∠BED=90°，则AD=BE.其中正确的是（）

A、①③ B、①④ C、②④ D、③④

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6. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 $A B C^{'} D^{'}$ ，若 $∠ D^{'} A B = 30^{°}$ ，则菱形 $A B C^{'} D^{'}$ 的面积与正方形ABCD的面积之比是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 如图，在边长为4 $\sqrt{3}$ 的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则AF 的长为（）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 4$ C、 $4 - 4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3} - 4$

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8. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA 上，且 DE∥CA，DF∥BA.有下列说法：
①四边形AEDF 是平行四边形；
②若∠BAC=90°，则四边形AEDF 是矩形；
③若 AD平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形；
④若AD⊥BC，且AB=AC，则四边形AEDF 是正方形.
其中正确的是（）

A、①④ B、②③ C、①②③ D、①②③④

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $C D$ 上的点， $A E = C F$ ，连接 $E F$ 、 $B F$ ， $E F$ 与对角线 $A C$ 交于点 $O$ ，且 $B E = B F$ ， $∠ B E F = 2 ∠ B A C$ ， $F C = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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10. 如图，在 Rt△ABC中，LACB=90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH 上，CG与EF相交于点P，CM 与BE相交于点Q.若HF=FG则 $\frac{S_{四边形 P C Q E}}{S_{正方形 A B E F}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ D、 $\frac{6}{25}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图，在矩形ABCD中，E是边AD 上一点，F 是边AB 上一点，EF=CE，且EF⊥CE，连结CF.若 DE= 2cm ，矩形 ABCD的周长为16 cm，求 AE 及 CF 的长.

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12. 如图，在矩形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，E 是边AD 的中点，点 F 在对角线AC 上，且AF= $\frac{1}{4}$ AC，连结 EF.若AC=10，则EF .

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13. 如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为▱MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM=cm；当α最小时，重叠部分的面积为cm².

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14. 如图，在菱形ABCD中，E是边CD上一点，连结AE 交对角线 BD 于点F，连结CF.若∠AED=40°，则∠BCF的度数为°.

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15. 正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 中，点 $D$ 在 $C G$ 上， $B C = 1$ ， $C E = 3$ ， $H$ 是 $A F$ 的中点，那么 $C H$ 的长是．

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16. 四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
图1 图2

(1)、如图1，当点E与点A重合时， $B F =$ ；

(2)、如图2，当点E在线段AD上时， $A E = 1$ ，则 $B F =$ ．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E 分别是线段 BC，AD的中点，过点 A 作 BC 的平行线交BE 的延长线于点 F，连结 CF.求证：

(1)、△BDE≌△FAE.

(2)、四边形 ADCF 是矩形.

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18. 如图，点 $P (a ， b)$ 是一次函数 $y = - x + 10 (0 ⩽ x ⩽ 10)$ 图象上一点.过点 $P$ 分别作 $x$ 轴， $y$ 轴的垂线段，垂足为点A，B.

(1)、矩形OAPB的周长是否为定值?若是请求出此定值，若不是，请说明理由；

(2)、连接 $O P ， R t △ O A P$ 的周长是否为定值?若是请求出此定值，如不是，请求出其最小值.

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19. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．

(1)、求证：EO=DC；

(2)、若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．

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20. 如图，在△ABF中，∠A=90°，AB=2，AF=3，E 是边 BF 的中点，D是边 AF 上一点，连结DE 并延长至点C，使得CE=DE.

(1)、求证：四边形 BDFC 是平行四边形.

(2)、若CD⊥BF，求CD长.

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21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，过点 B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连结BE，CF.

(1)、求证：△BDF≌△CDE.

(2)、当 ED 与BC 满足什么数量关系时，四边形BECF 是正方形? 请说明理由.

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22. 如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．

(1)、[证明体验]
求证：四边形AECF是菱形．

(2)、[基础巩固]
若AB=8，BC=6，求菱形AECF的边长．

(3)、[拓展延伸]
如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为 $3 \sqrt{2}$ ，且AE=5CH，求矩形ABCD的面积．

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23. 如图，四边形 ABCD为正方形，E 为对角线AC 上一点，连结 DE，过点 E 作EF⊥DE，交BC于点 F，以DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连结 CG.

(1)、求证：矩形 DEFG 是正方形.

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{2} ， C E = 2 ，$ 求 CG 的长.

(3)、当 $∠ A D E = 40 °$ 时，求∠EFC的度数.

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24. 【定义】对于没有公共点的两个图形 $M$ ， $N$ ，点 $P$ 是图形 $M$ 上任意一点，点 $Q$ 是图形 $N$ 上任意一点，把 $P$ 、 $Q$ 两点之间的距离的最小值称为图形 $M$ 与图形 $N$ 的距离，记为 $d [M ， N]$ ．

【理解】如图1，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，若点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(4 ， 3)$ ， $(- 4 ， 3)$ ，点 $G$ 是 $▱ A B C D$ 边上任意一点．

(1)、当点 $G$ 在边 $A D$ 上时， $O G$ 的最小值是，因此 $d$ [点 $O$ ，线段 $A D$ ]＝；

(2)、当点 $G$ 在任意边上时， $O G$ 的最小值是，因此 $d$ [点 $O$ ， $▱ A B C D$ ]＝；

(3)、【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(4 ， 3)$ ， $(- \frac{9}{4} ， 3)$ ，点 $E (a ， n)$ 是对角线 $A C$ 上与点 $A$ ， $C$ ， $O$ 不重合的一点，点 $F (b ， n)$ 是对角线 $B D$ 上与点 $B$ ， $D$ ， $O$ 不重合的一点．
当 $1 < d$ [线段 $E F$ ， $▱ A B C D$ ] $< 2$ 时，则 $n$ 的取值范围为；

(4)、当 $n > 0$ 时， $\frac{d [线段 E F ， ▱ A B C D]}{d [点 F ，线段 A D]} =$ （结果用含 $n$ 的式子表示）；

(5)、【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为 $0.5$ 米，请直接写出所需彩绳的长度．

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2024年浙教版数学八年级下学期第五章 特殊平行四边形 单元测试（培优卷）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

2024年浙教版数学八年级下学期第五章特殊平行四边形单元测试（培优卷）