吉林省长春市德惠市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-05 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列式子中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{29}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{5}}$

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2. 若 $2 y = 5 x (x y \neq 0)$ ，则下列比例式正确的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$ B、 $\frac{x}{5} = \frac{2}{y}$ C、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{5}$ D、 $\frac{y}{x} = \frac{2}{5}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、“买中奖率为 $1 %$ 的奖券 $100$ 张，一定中奖”是必然事件 B、“汽车累积行驶 $10000 k m$ ，从未出现故障”是不可能事件 C、天气预报说“明天的降水概率为 $70 %$ ”，意味着明天一定下雨 D、“清明时节雨纷纷”为随机事件

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4. 下列各式计算正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2 \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = 3$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} = 4 \sqrt{3}$

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5. 如图是一架人字梯，已知 $A B = A C$ ，两梯脚之间的距离 $B C = m$ 米， $A C$ 与地面 $B C$ 的夹角为 $α$ ，则人字梯 $A C$ 长为（）

A、 $\frac{m c o s α}{2}$ 米 B、 $m s i n α$ 米 C、 $\frac{m}{2 c o s α}$ 米 D、 $\frac{m}{c o s α}$ 米

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6. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 $A$ 点的坐标是 $(- 3，0)$ ，现将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ ，则旋转后点 $A$ 的坐标是（）

A、 $(1，3)$ B、 $(- 1 ， - 4)$ C、 $(- 2 ， - 4)$ D、 $(- 3，3)$

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7. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$ ，那么抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线（）

A、 $x = 1$ B、 $x = \frac{1}{2}$ C、 $x = \frac{3}{2}$ D、 $x = - \frac{1}{2}$

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8. 在 $2023$ 年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 $y ($ 单位：米 $)$ 与飞行的水平距离 $x ($ 单位：米 $)$ 之间具有函数关系 $y = - \frac{1}{16} x^{2} + \frac{5}{8} x + \frac{3}{2}$ ，则小康这次实心球训练的成绩为（）

A、 $14$ 米 B、 $12$ 米 C、 $11$ 米 D、 $10$ 米

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9. 函数y＝ $\sqrt{x-1}$ 的自变量x的取值范围是.

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10. 一个盒子中有m个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是 $\frac{1}{4}$ 则m= ．

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11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 5 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k =$ ．

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12. $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的三边长分别为 $7$ 、 $2$ 、 $6$ 和 $18$ 、 $6$ 、 $21$ ，且两三角形相似，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的面积比为．

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ， E是 $B C$ 上一点， $B E = 1 ， A E$ 与 $B D$ 交于点F．则 $D F$ 的长为．

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14. 如图，用长为 $20 c m$ 的篱笆，一边利用墙 $($ 墙足够长 $)$ 围成一个长方形花园，设花园的宽 $A B$ 为 $x c m$ ，围成的花圃面积为 $y c m^{2}$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为．

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三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 计算： $(2 \sqrt{5} - 3) (2 \sqrt{5} + 3) - 2 (\sqrt{5} - 1)^{2}$ ．

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16. 解方程： $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ ．

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17. 不透明的袋子中装有 $2$ 个红球和 $1$ 个白球，这些球除颜色外完全相同 $.$ 若从袋子中随机摸出 $2$ 个球，请用列表或画树状图的方法，求摸出的 $2$ 个球颜色不同的概率．

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18. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市 $2020$ 年投入资金 $1000$ 万元， $2022$ 年投入资金 $1440$ 万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．

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19. 如图， $a / / b / / c$ ，直线 $m$ ， $n$ 交于点 $O$ ，且分别与直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，已知 $O A = 1$ ， $O B = 2$ ， $B C = 4$ ， $E F = 5$ ，求 $D E$ 的长度是？

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20. 图 $①$ 、图 $②$ 、图 $③$ 均是 $3 \times 3$ 的正方形网格，每个小正方 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 均在格点上 $.$ 请按要求完成作图，保留作图痕迹．

(1)、在线段 $A B$ 上找一点 $C$ ，使其平分线段 $A B$ ；

(2)、在线段 $A B$ 上找一点 $D$ ，使其分线段 $A B$ 为 $1$ ： $3$ 两部分；

(3)、在线段 $A B$ 上找一点 $E$ ，使 $t a n ∠ P E B = 1$ ．

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21. 2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为 $30 °$ ，在地面雷达站B处测得点A的仰角为 $45 °$ ．已知 $A C = 20 k m$ ， O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到 $0.01 k m$ ，参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）．

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22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 $77$ 页的部分内容．
猜想：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 与 $A C$ 的中点 $.$ 根据画出的图形，可以猜想：
$D E / / B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$
对此，我们可以用演绎推理给出证明．

(1)、【定理证明】请根据教材内容，结合图 $①$ ，写出证明过程．

(2)、【定理应用】如图 $②$ ，已知矩形 $A B C D$ 中， $A D = 6$ ， $C D = 4$ ，点 $P$ 在 $B C$ 上从 $B$ 向 $C$ 移动， $R$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $D C$ 、 $A P$ 、 $R P$ 的中点，则 $E F =$ ．

(3)、【拓展提升】如图 $③$ ， $△ A B C$ 中， $A B = 12$ ， $B C = 16$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $F$ 在 $D E$ 上，且 $∠ A F B = 90 °$ ，则 $E F =$ ．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + c$ 与 $y$ 轴相交于点 $A (0，2)$ ．

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、点 $B$ 为 $y$ 轴上一点，其纵坐标为 $m (m \neq 2)$ ，连接 $A B$ ，以 $A B$ 为边向右作正方形 $A B C D$ ．
$①$ 设抛物线的顶点为 $P$ ，当点 $P$ 在 $B C$ 上时，求 $m$ 的值；
$②$ 当点 $C$ 在抛物线上时，求 $m$ 的值；
$③$ 当抛物线与正方形 $A B C D$ 有两个交点时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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24. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4 .$ 点 $P$ 从点 $C$ 出发沿折线 $C A - A B$ 以每秒 $1$ 个单位长的速度向点 $B$ 匀速运动，点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $B C - C A - A B$ 以每秒 $2$ 个单位长的速度向点 $B$ 匀速运动，点 $P$ 、 $Q$ 同时出发，当其中一点到达点 $B$ 时停止运动，另一点也随之停止 $.$ 设点 $P$ 、 $Q$ 运动的时间是 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

(1)、当 $t = 1$ 时， $P Q =$ ；当 $t = 5$ 时， $P Q =$ ．

(2)、当点 $P$ 、 $Q$ 重合时，求出 $B P$ 的长．

(3)、点 $P$ 、 $Q$ 分别在 $A C$ 、 $B C$ 上时， $△ P Q C$ 的面积能否是 $△ A B C$ 面积的一半？若能，求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由．

(4)、当 $P Q$ 与 $△ A B C$ 的一边平行时，直接写出 $t$ 的值．

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