吉林省松原市前郭县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-05 类型：期末考试

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一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $2022$ 年冬奥会会徽和冬残奥会会徽部分作品图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列关于 $x$ 的方程中，一定是一元二次方程的为（）．

A、 $x^{2} - 2 = (x + 3)^{2}$ B、 $x^{2} - 1 = 0$ C、 $x^{2} + \frac{3}{x} - 5 = 0$ D、 $a x^{2} + b x + c = 0$

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3. 若函数 $y = (m + 4) x^{| m | - 5}$ 是反比例函数，则 $m$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $4$ 或 $- 4$ D、 $0$

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4. 下列属于随机事件的是（）

A、一个袋中有 $5$ 个红球，从中摸出一个球是红球 B、两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C、在地球上，抛出的篮球会落下 D、从装有 $10$ 个白球的不透明袋中取出 $1$ 个黑球

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5. 如图，在 $⊙ O$ 中，若 $∠ A C B = 30 °$ ， $O A = 6$ ，则扇形 $O A B$ (阴影部分)的面积是（）

A、 $12 π$ B、 $6 π$ C、 $4 π$ D、 $2 π$

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6. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $(1，0)$ ，对称轴是直线 $x = - 1$ ，如果你不知道下列结论： $① a b c > 0$ ， $② b^{2} - 4 a c > 0$ ， $③ 2 a - b = 0$ ， $④ 3 a + 2 c < 0$ 中，哪些是正确结论，那么你从中随机选择一个结论是正确的概率是（）

A、 $1$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

7. 已知 $m$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 2020 = 0$ 的一个根，则式子 $- 2 m^{2} + 4 m$ 的值为．

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8. 抛物线 $y = a (x - 1)^{2} + 3$ 向右平移 $1$ 个单位，向上平移 $2$ 个单位后经过点 $(1，7) .$ 则 $a$ 的值是．

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9. 已知 $A (m - 1 ， - 2)$ 、 $B (- 3 ， - 2 - n)$ 两点关于原点对称，则 $(m + n)^{2023} =$ ．

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10. 在一个不透明的盒子中有25个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中白球的个数约为．

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11. 如图，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上的一点，点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上且 $A O = A B$ ，若 $△ A B O$ 的面积为 $4$ ，则 $k$ 的值为．

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12. 二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - m$ 的部分图象如图所示，则方程 $a x^{2} - 2 a x - m = 0$ 的根为．

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13. 在 $《$ 九章算术 $》$ 中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 $1$ 寸，锯道 $A B = 1$ 尺 $(1$ 尺 $= 10$ 寸 $)$ ，则该圆材的直径为寸．

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14. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象交于 $(- 1 ， m)$ ， $(- 5 ， n)$ 两点，则不等式 $k x + b - \frac{1}{x} > 0$ 的解集为．

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三、计算题：本大题共1小题，共5分。

15. 解方程：x²-2x-1=0.

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四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是 $1$ ，小正方形的顶点称作格点， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，把 $△ A B C$ 先向右平移 $6$ 个单位，再向下平移 $4$ 个单位得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，再将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得 $△ A_{2} B_{2} C_{1} .$ 结合所给的平面直角坐标系，回答下列问题：

(1)、在平面直角坐标系中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{1}$ ；

(2)、图中的 $△ A_{2} B_{2} C_{1}$ 能不能通过顺时针旋转 $△ A B C$ 得到？如果可以，请写出旋转中心 $D$ 的坐标及旋转角 $α$ 的度数 $(0 ° < α < 180 °)$ ；如果不能，说明理由．

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17. 如图， $A C$ ， $B C$ 是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $A C = B C$ ， $∠ A O C + ∠ A B C = 75 °$ ， D为弦 $A B$ 所对优弧上一点，求 $∠ D$ 的度数．

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18. 已知反比例函数 $y = \frac{k - 4}{x}$ 的图象经过第一、三象限．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0$ ，此函数的图象过第一象限的两点 $(a + 5 ， y_{1}) (2 a + 1 ， y_{2})$ ，且 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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19. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“ $A .$ 惊蛰”“ $B .$ 夏至”“ $C .$ 白露”“ $D .$ 霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．

(1)、小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“ $A .$ 惊蛰”的概率是．

(2)、小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“ $B .$ 夏至”的概率．

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20. 如图， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，点 $O$ 是 $B D$ 上一点， $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $M$ ，与 $B D$ 交于点 $E$ 、 $F$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $E M$ ，若 $E M / / B C$ ，求 $∠ A B C$ 的度数．

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21. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 5 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、上述方程的根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 恰好是斜边为 $6$ 的直角三角形另外两边的边长，求这个三角形的周长．

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22. 驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于 $200$ 微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌 $38$ 度白酒后血液中酒精浓度 $y ($ 微克 $/$ 毫升 $)$ 与饮酒时间 $x ($ 小时 $)$ 之间函数关系如图所示 $($ 当 $4 \leq x \leq 10$ 时， $y$ 与 $x$ 成反比例 $)$ ．

(1)、根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为；下降阶段的函数解析式为； $($ 并写出 $x$ 的取值范围 $)$

(2)、问血液中酒精浓度不低于 $200$ 微克 $/$ 毫升的持续时间是多少小时？

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23. 某超市以每千克 $40$ 元的价格购进一种干果，计划以每千克 $60$ 元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 $y ($ 千克 $)$ 与每千克降价 $x ($ 元 $) (0 < x < 20)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当每千克干果降价 $3$ 元时，超市获利多少元？

(3)、若超市要想获利 $2090$ 元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？

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24. 问题情境：在学习 $《$ 图形的平移和旋转 $》$ 时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图 $1$ ，点 $D$ 为等边 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上一点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、【猜想证明】试猜想 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系，并加以证明；

(2)、【探究应用】如图 $2$ ，点 $D$ 为等边 $△ A B C$ 内一点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E$ ，若 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 三点共线，求证： $E B$ 平分 $∠ A E C$ ；

(3)、【拓展提升】如图 $3$ ，若 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，点 $D$ 是线段 $B C$ 上的动点，将线段 $A D$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $D E$ ，连接 $C E .$ 点 $D$ 在运动过程中， $△ D E C$ 的周长最小值 $=$ $($ 直接写答案 $)$ ．

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25. 在平面直角坐标系中， $O$ 为原点， $△ O A B$ 是等腰直角三角形， $∠ O B A = 90 °$ ， $B O = B A$ ，顶点 $A (6，0)$ ，点 $B$ 在第一象限，矩形 $O C D E$ 的顶点 $E (- 6，0)$ ， $C (0，2)$ ，点 $D$ 在第二象限 $.$ 将矩形 $O C D E$ 沿 $x$ 轴向右平移，得到矩形 $O' C' D' E'$ ，点 $O$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为 $O'$ ， $C'$ ， $D'$ ， $E' .$ 设 $O O' = t (0 \leq t \leq 6)$ ．

(1)、如图 $①$ ，当 $t = 1$ 时， $O' C'$ 与 $O B$ 交于 $F$ 点，求点 $C'$ ， $F$ 的坐标；

(2)、若矩形 $O' C' D' E'$ 与 $△ O A B$ 重叠部分的面积为 $S$ ．
$①$ 如图 $②$ ，当矩形 $O' C' D' E'$ 与 $△ O A B$ 重叠部分为五边形时， $C' D'$ 分别与 $O B$ 交于点 $G$ ，与 $A B$ 交于点 $H . O' C'$ 与 $A B$ 交于点 $N$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $S$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围；
$②$ 当 $\frac{5}{3} \leq t \leq 4 \sqrt{2}$ 时，求 $S$ 的取值范围 $($ 直接写出结果即可 $)$ ．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 点，与 $y$ 轴交于点 $C (0，3)$ ，点 $A$ 在原点的左侧，点 $B$ 的坐标为 $(3，0)$ ，点 $P$ 是抛物线上一个动点，且在直线 $B C$ 的上方．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、当点 $P$ 运动到什么位置时， $△ B P C$ 的面积最大？请求出点 $P$ 的坐标和 $△ B P C$ 面积的最大值．

(3)、连接 $P O$ ， $P C$ ，并把 $△ P O C$ 沿 $C O$ 翻折，得到四边形 $P O P' C$ ，那么是否存在点 $P$ ，使四边形 $P O P' C$ 为菱形？若存在，请求出此时点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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