2014年全国高考理数真题试卷（新课标I卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）

A、[1，2） B、[﹣1，1] C、[﹣1，2） D、[﹣2，﹣1]

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2. $\frac{{(1 + i)}^{3}}{{(1 - i)}^{2}}$ =（）

A、1+i B、1﹣i C、﹣1+i D、﹣1﹣i

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3. 设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）

A、f（x）•g（x）是偶函数 B、|f（x）|•g（x）是奇函数 C、f（x）•|g（x）|是奇函数 D、|f（x）•g（x）|是奇函数

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4. 已知F为双曲线C：x²﹣my²=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ m D、3m

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5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{7}{8}$

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6. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7.
执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）

A、 $\frac{20}{3}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{15}{8}$

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8. 设α∈（0， $\frac{π}{2}$ ），β∈（0， $\frac{π}{2}$ ），且tanα= $\frac{1 + \sin β}{\cos β}$ ，则（）

A、3α﹣β= $\frac{π}{2}$ B、3α+β= $\frac{π}{2}$ C、2α﹣β= $\frac{π}{2}$ D、2α+β= $\frac{π}{2}$

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9. 不等式组 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ x - 2 y \leq 4 \end{matrix}$ 的解集记为D，有下列四个命题：
p₁：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2          p₂：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p₃：∀（x，y）∈D，x+2y≤3           p₄：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（    ）

A、p₂ ， p₃ B、p₁ ， p₄ C、p₁ ， p₂ D、p₁ ， p₃

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10. 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 $\vec{F P}$ =4 $\vec{F Q}$ ，则|QF|=（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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11. 已知函数f（x）=ax³﹣3x²+1，若f（x）存在唯一的零点x₀ ，且x₀＞0，则实数a的取值范围是（）

A、（1，+∞） B、（2，+∞） C、（﹣∞，﹣1） D、（﹣∞，﹣2）

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12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

A、6 $\sqrt{2}$ B、6 C、4 $\sqrt{2}$ D、4

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二、填空题

13. （x﹣y）（x+y）⁸的展开式中x²y⁷的系数为．（用数字填写答案）

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14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为．

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15. 已知A，B，C为圆O上的三点，若 $\vec{A O}$ = $\frac{1}{2}$ （ $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ ），则 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为．

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16. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=λS_n﹣1，其中λ为常数．

(1)、证明：a_n+2﹣a_n=λ

(2)、是否存在λ，使得{a_n}为等差数列？并说明理由．

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18.
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)、求这500件产品质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差s²（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，σ²近似为样本方差s² ．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： $\sqrt{150}$ ≈12.2．
若Z～N（μ，σ²）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

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19. 如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，AB⊥B₁C．

(1)、证明：AC=AB₁；

(2)、若AC⊥AB₁ ， ∠CBB₁=60°，AB=BC，求二面角A﹣A₁B₁﹣C₁的余弦值．

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20. 已知点A（0，﹣2），椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，O为坐标原点．

(1)、求E的方程；

(2)、设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

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21. 设函数f（x）=ae^xlnx+ $\frac{b e^{x - 1}}{x}$ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．

(1)、求a、b；

(2)、证明：f（x）＞1．

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四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲

22. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．

(1)、证明：∠D=∠E；

(2)、设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

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23. 已知曲线C： $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{9}$ =1，直线l： ${\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 2 - 2 t \end{matrix}$ （t为参数）

(1)、写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．

(2)、过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

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24. 若a＞0，b＞0，且 $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = $\sqrt{a b}$ ．

(1)、求a³+b³的最小值；

(2)、是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

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2014年全国高考理数真题试卷（新课标I卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 选修4-1：几何证明选讲

四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲