广东省广州市增城区2023-2024学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-03-05 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件为随机事件的是（）

A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B、负数大于正数 C、任意画一个三角形，其内角和是 $180 °$ D、通常加热到 $100 ℃$ 时，水沸腾

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3. 如果反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（）

A、－3 B、2 C、0 D、－2

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 32 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A B' C'$ ，则 $∠ B' A C$ 的度数为（）

A、 $28 °$ B、 $30 °$ C、 $32 °$ D、 $38 °$

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5. 解方程“ $\frac{1}{x} = x$ ”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为（）

A、 $x = 1$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 1$ D、 $x = - 1$

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6. 某商店将进货价格为 $20$ 元的商品按单价 $36$ 元售出时，能卖出 $200$ 个 $.$ 已知该商品单价每上涨 $1$ 元，其销售量就减少 $5$ 个 $.$ 设这种商品的售价上涨 $x$ 元时，获得的利润为 $1200$ 元，则下列关系式正确的是（）

A、 $(x + 16) (200 - 5 x) = 1200$ B、 $(x + 16) (200 + 5 x) = 1200$ C、 $(x - 16) (200 + 5 x) = 1200$ D、 $(x - 16) (200 - 5 x) = 1200$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $\overset{⏜}{A C}$ 是以点 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径的一段圆弧，则 $\overset{⏜}{A C}$ 的长为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ ， $P C$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，点 $C$ ，若 $∠ P = 60 °$ ， $P A = \sqrt{3}$ ，则 $A B$ 的长为( )

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 4，2)$ ， $B (- 6 ， - 4)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，相似比为 $\frac{1}{2}$ ，把 $△ A B O$ 缩小，则点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标是（）

A、 $(- 2，1)$ B、 $(2 ， - 1)$ C、 $(- 8，4)$ 或 $(8 ， - 4)$ D、 $(- 2，1)$ 或 $(2 ， - 1)$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过等腰直角三角形的两个顶点 $A$ ， $B$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴上，则 $a c$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O上，则OP的长为.

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12. 已知 $△ A B C$ ∽ $△ D E F$ ，其相似比为 $2$ ： $3$ ，则它们的周长之比为．

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13. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共 $100$ 个，这些球除颜色外都相同 $.$ 小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在 $30 %$ 左右，则可估计红球的数量约为个 $.$

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14. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $m$ 的值等于．

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15. 已知点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2} . ($ 填“ $<$ ”或“ $>$ ”或“ $=$ ” $)$

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16. 如图，平面直角坐标系中有一点 $A (4，2)$ ，在以 $M (0，3)$ 为圆心， $2$ 为半径的圆上有一点 $P$ ，将点 $P$ 绕点 $A$ 旋转 $180 °$ 后恰好落在 $x$ 轴上，则点 $P$ 的坐标是．

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三、计算题：本大题共1小题，共4分。

17. 解方程：x²＋2x－3＝0．

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四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18. 如图， $A D$ 、 $B C$ 相交于点P，连接 $A C$ 、 $B D$ ，且 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $A C = 6$ ， $C P = 4$ ， $D P = 2$ ，求 $B D$ 的长．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O B C$ 的三个顶点均在格点上．

(1)、画出 $△ O B C$ 关于原点O成中心对称的图形 $△ O B^{'} C^{'}$ ；

(2)、写出点 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 的坐标．

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20. 如图，有3张分别印有第19届杭州亚运会的吉祥物的卡片： A宸宸、B琮琮、C莲莲．
现将这3张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片求下列事件发生的概率：

(1)、第一次取出的卡片图案为”B琮琮”的概率为

(2)、用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为”A宸宸”的概率．

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21. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ B A C = 60 °$ ， l是过点B的一条直线．

(1)、尺规作图：作 $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ ，交 $B C$ 于点D，交直线l于点E．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，若 $B D = B E$ ，求证：l是 $⊙ O$ 的切线．

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22. 如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 $h ($ 单位： $m)$ 与小球的运动时间 $t ($ 单位： $s)$ 之间的关系式是 $h = - 5 t^{2} + 30 t$ ．

(1)、当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面 $A$ 处？

(2)、求小球在运动过程中的最大高度．

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23. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，已知 $A (3，1)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(m ， - 2)$ ．

(1)、分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、在 $y$ 轴上是否存在一点 $P ($ 不与点 $O$ 重合 $)$ ，使得 $△ P D C$ ∽ $△ C D O$ ，若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，说明理由．

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24. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 2 m (m$ 是常数 $)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $(A$ 在 $B$ 的左侧 $)$ ，顶点为 $C$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求抛物线的顶点坐标；

(2)、若点 $E$ 是点 $C$ 关于 $x$ 轴对称的点，判断以点 $A$ 、 $C$ 、 $B$ 、 $E$ 为顶点的四边形的形状，并写出证明过程；

(3)、在 $(1)$ 的条件下，将二次函数向左平移 $k (k > 0)$ 个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为 $1$ ，求 $k$ 的值．

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25. 如图，已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = a (a > 1)$ ， $B C = 2$ ，点O是 $B C$ 边的中点，点E是矩形内一个动点，且 $O E = 1$ ．

(1)、当 $O E ⊥ B C$ 时，连接 $B E$ 、 $C E$ ，直接写出 $∠ B E C$ 的度数；

(2)、当 $a = \sqrt{3}$ 时，连接 $D E$ ，若 $D E ⊥ O E$ ，求 $B E$ 的长；

(3)、当 $a = 2$ 时，将线段 $D E$ 绕点D逆时针旋转 $90 °$ 后，得到线段 $D F$ ，点P是线段 $D F$ 的中点，当点E在矩形 $A B C D$ 内部运动时，求点P运动路径的长度．

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