广东省广州市花都区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列关于x的方程中，一定属于一元二次方程的是（）

A、x﹣1=0 B、x²+5=0 C、x³+x=3 D、ax²+bx+c=0

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2. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩（满分30分）依次为：25，23，25，23，27，30，25，这组数据的中位数和众数分别是（）

A、25，23 B、23，23 C、23，25 D、25，25

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4. 如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径 $O A$ 的长是 $5 m$ ，净高 $C D$ 为 $8 m$ ，则此路面 $A B$ 宽为（） $m$ ．

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 如图，D ， E分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $D E ∥ B C$ ， $B E$ 交 $D C$ 于点F ． $E F ： F B = 1 ： 3$ ，则 $\frac{S_{△ D E F}}{S_{△ B F C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、以上答案都不对

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6. 若关于x一元二次方程 $a x^{2} - 2 a x + 3 = 0 (a \neq 0)$ 的根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则下面成立的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} \cdot x_{2} = 3$ D、 $x_{1} \cdot x_{2} = - 3$

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7. 如图，正比例函数y₁=k₁x和反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y₁＜y₂ ，则x的取值范围是（）

A、x＜﹣1或x＞1 B、x＜﹣1或0＜x＜1 C、﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D、﹣1＜x＜0或x＞1

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8. 如图，⊙O的直径CD过弦EF 的中点G ， ∠EOD＝40°，则∠DCF 等于（　）

A、80° B、50° C、40° D、20°

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9. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（）

A、 $20 c m^{2}$ B、 $40 c m^{2}$ C、 $20 π c m^{2}$ D、 $40 π c m^{2}$

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10. 如图，抛物线 $y = x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ 与直线 $y = x - 2$ 交于A、B两点 $($ 点A在点B的左侧 $)$ ，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x轴上的某点F ，最后运动到点 $B .$ 若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{29}}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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二、填空题

11. 抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 的顶点坐标是．

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12. 如图，在 $△$ ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是.

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13. 小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据：
掷图钉的次数
10
100
300
500
800
1000
针尖朝上的频率
$90 %$
$79 %$
$72 %$
$68 %$
$69 %$
$68 %$
请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是．

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14. 若点 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ ， $C (2 ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 2}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是．

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15. 某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是；

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 平分圆周角 $∠ A C B$ ，则下列结论：
① $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ ② $△ A B D$ 是等腰直角三角形③ $C A + C B = \sqrt{3} C D$ ④ $S_{四边形 A D B C} = \frac{1}{2} C D^{2}$
正确的有．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 2 x + 1 = 16$ ．

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18. 在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2 ， 3)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $O (0 ， 0)$ ．以原点O为位似中心，在第三象限画出 $△ O A_{1} B_{1}$ ，使它与 $△ O A B$ 的相似比是2．

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19. 一天晚上，小明帮助妈妈清洗两只有盖茶杯，一只为黑色，另一只为灰色，突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．求颜色搭配正确概率的是多少．

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20. 学校生物小组有一块长 $22$ m，宽 $17$ m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的人行道（如图），要使种植面积为： $300 m^{2}$ ，人行道的宽应是多少米？

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 和过点 $C$ 的直线互相垂直，垂足为 $D$ ， $∠ A E C = 90 °$ ， $C D = C E$ ．求证：直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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22. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象经过点 $A (0 ， 6)$ 、 $B (3 ， 3)$ 、 $C (4 ， 6)$ ．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、观察函数图象，试直接写出 $y > 6$ 时， $x$ 的取值范围．

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23. 如图，一块材料的形状是锐角三角形 $A B C$ ，边 $B C = 120 m m$ ，高 $A D = 80 m m$ ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 $B C$ 上，其余两个顶点分别在 $A B ， A C$ 上．

(1)、求证： $\frac{A K}{A D} = \frac{E F}{B C}$ ．

(2)、这个正方形零件的边长是多少？

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24. 已知点 $P (m ， n)$ 在函数 $y = - \frac{4}{x} (x < 0)$ 的图像上．

(1)、若 $m = - 2$ ，求n的值；

(2)、抛物线 $y = (x - m) (x - n)$ 与x轴交于两点M ， N（M在N的左边），与y轴交于点G ，记抛物线的顶点为E ．
①m为何值时，点E到x轴的距离为 $\frac{25}{4}$ ；
②若 $m + n = \frac{15}{2}$ ，平面内是否存在点F ，使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点F的坐标（说明理由）．

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25. 阅读：如图1，点A是 $⊙ O$ 外一点，点P是 $⊙ O$ 上一动点．若 $⊙ O$ 的半径为3， $O A$ 长度为5，则根据： $P A \geq O A - O P$ ，得到点P到点A的最短距离为： $5 - 3 = 2$ ．
解决问题：

(1)、如图2，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边 $B C 、 C D$ 方向向终点C和D运动，连接 $A M$ 和 $B N$ 交于点P ．
①证明： $△ A B M ≌ △ B C N$ ．
②求点P到点C的最短距离．

(2)、如图3，在平面直角坐标系中，等边 $△ O A B$ 的边 $O B$ 在x轴正半轴上，点 $A (3 ， m)$ ， $m > 0$ ，点D从B点出发，沿 $B O$ 运动到O ，点E同时从O点以相同的速度出发，沿 $O A$ 运动到A ，连接 $A D 、 B E$ ，交点为F ， M是y轴上一点，求 $F M$ 的最小值．

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掷图钉的次数	10	100	300	500	800	1000
针尖朝上的频率	$90 %$	$79 %$	$72 %$	$68 %$	$69 %$	$68 %$