广东省深圳市福田区重点学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-05 类型：开学考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.
如图所示的几何体的左视图为（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（）

A、 $0.34 \times 1 0^{- 5}$ B、 $3.4 \times 1 0^{6}$ C、 $3.4 \times 1 0^{- 5}$ D、 $3.4 \times 1 0^{- 6}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a^{2} + a^{2} = 3 a^{4}$ B、 $(2 a)^{3} = 2 a^{3}$ C、 $- a^{4} \cdot a^{2} = - a^{6}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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4. 从思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中选择2门参加考试，选到地理的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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5. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（）

A、14，5 B、5，5 C、14，6 D、5，6

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6. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（）

A、 $\frac{8}{x} + 15 = \frac{8}{2.5 x}$ B、 $\frac{8}{x} = \frac{8}{2.5 x} + 15$ C、 $\frac{8}{x} + \frac{1}{4} = \frac{8}{2.5 x}$ D、 $\frac{8}{x} = \frac{8}{2.5 x} + \frac{1}{4}$

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7. 由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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8. 如图，将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知 $D E ∥ A C$ ， $E F ∥ A B$ ， $A F = 1.8$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $A C = 3$ B、 $C E = 3$ C、 $D E = 1.8$ D、 $E F = 4$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C ．下列结论：
① $a c > 0$ ；②当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大；③ $3 a + c = 0$ ；④ $a + b \geq a m^{2} + b m$ ．

其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足 $B C = 3 C M$ ，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得 $N P = B N$ ，则 $\frac{D P}{B N} =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{9}{10}$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解 $a x^{2} - 4 a$ = ．

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12. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 2$ 的顶点为A，与y轴交于点B，则直线AB的表达式为．

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13. 如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为米（结果保留根号）．

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14. 如图，A，B是函数 $y = \frac{12}{x}$ 上两点，P为一动点，作 $P A ∥ x$ 轴， $P B ∥ y$ 轴，若 $S_{△ B O P} = 4$ ，则 $S_{△ P A B} =$ ．

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15. 如图，正方形ABCD中，点E．F分别在边BC，CD上，AB=6， $∠ E A F = 45 °$ ，连接BD交AF于点N，交AE于点M，若 $C E = 4$ ，则DN为．

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三、计算题（共7小题，共55分）

16. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + 2 c o s 30 ° - (3.14 - π)^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

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17. 先化简，再求值： $(1 - \frac{3}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x + 1}$ ，其中x在－2，－1，0，2四个数中选取一个合适的数代入．

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18. 为了打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；

(1)、条形图中的m＝， n＝，

(2)、文学类书籍对应扇形圆心角等于度：

(3)、若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；

(4)、甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

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19. 某网店以每个32元的价格购进了一批玩具，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个玩具．

(1)、若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；

(2)、经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？

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20. 如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ，分别以点B，C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点O，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．

(1)、求证： $C D = C E$ ：

(2)、在 $▱ A B C D$ 中能否添加一个条件，使四边形ABEC为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由．

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21. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a、b、c是常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
0
1 2 3
……
y
－2
m －2 1
……

(1)、根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为直线．

(2)、求抛物线的解析式和m的值．

(3)、将抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (x > 0)$ 的图象记为 $G_{1}$ ，将 $G_{1}$ 绕点O旋转180°后的图象记为 $G_{2}$ ， $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 合起来得到的图象记为G，完成以下问题：
①画出G的图像
②若直线 $y = k$ 与函数G有且只有两个交点，直接写出k的取值范围_▲__．

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22. 在正方形ABCD中，点G是边AB上的一个动点，点F、E在边BC上， $B F = F E = A G$ ，且 $A G \leq \frac{1}{2} A B$ 、GF、DE的延长线相交于点P．

(1)、如图1，当点E与点C重合时， $∠ P$ 的度数＝；

(2)、如图2，当点E与C不重合时，在点G的运动过程中， $∠ P$ 的度数是否发生变化，若不变，求出 $∠ P$ 的度数，若变化，请说明理由

(3)、在（2）的条件下，如图3，过D作 $D N ⊥ G P$ 于点N，连接CN．BP，取BP的中点M，连接MN，在点G的运动过程中，求 $\frac{M N}{N C}$ 的值（直接写出结果即可）．

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锻炼时间（时）	3	4	5	6	7
人数（人）	6	13	14	5	2

x	0	1 2 3	……
y	－2	m －2 1	……